Calcule as expressões.
g) \frac{\left|2 x^{2}\\right|}{|-4 x y|}

Passo 1

O enunciado pede para calcular/simplificar a expressão dada. A expressão recebida (interpretei os caracteres extras como uma quebra) é
\frac{\left|2 x^{2}\right|}{\left|-4 x y\right|}.
Informações relevantes:
  • As variáveis x e y são números reais (não foram dadas outras restrições).
  • A expressão envolve valor absoluto no numerador e no denominador.
  • A expressão só está definida quando o denominador é diferente de zero, ou seja, quando -4xy\neq0 (equivalente a x\neq0 e y\neq0).

Passo 2

Vamos lembrar propriedades úteis do valor absoluto que usaremos:
  • Para quaisquer números reais a e b vale \left|ab\right|=\left|a\right|\left|b\right|.
  • Para qualquer número real a e inteiro n\ge0 vale \left|a^{n}\right|=\left|a\right|^{n}. Em particular, \left|x^{2}\right|=\left|x\right|^{2}.
  • Se um fator dentro do valor absoluto já é não negativo (por exemplo x^{2}\ge0), então \left|x^{2}\right|=x^{2}.
    Estas propriedades permitem separar constantes e variáveis dentro do valor absoluto e simplificar.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao numerador:
\left|2x^{2}\right|=\left|2\right|\left|x^{2}\right|.
Como \left|2\right|=2 e \left|x^{2}\right|=x^{2} (porque x^{2}\ge0 para todo x), obtemos
\left|2x^{2}\right|=2x^{2}.

Passo 4

Aplicando a propriedade ao denominador:
\left|-4xy\right|=\left|-4\right|\left|x\right|\left|y\right|.
Como \left|-4\right|=4, isso fica
\left|-4xy\right|=4\left|x\right|\left|y\right|.

Passo 5

Substituindo as simplificações na fração:
\frac{\left|2x^{2}\right|}{\left|-4xy\right|}=\frac{2x^{2}}{4\left|x\right|\left|y\right|}.
Fatorando a constante e simplificando 2/4:
\frac{2x^{2}}{4\left|x\right|\left|y\right|}=\frac{1}{2}\cdot\frac{x^{2}}{\left|x\right|\left|y\right|}.

Passo 6

Agora simplificamos a parte com x. Usando x^{2}=\left|x\right|^{2} temos
\frac{x^{2}}{\left|x\right|\left|y\right|}=\frac{\left|x\right|^{2}}{\left|x\right|\left|y\right|}=\frac{\left|x\right|}{\left|y\right|},
pois \left|x\right|>0 quando x\neq0 e aí é possível cancelar um fator \left|x\right|. Lembrando a condição de existência da expressão (denominador não nulo), concluímos:
\frac{\left|2x^{2}\right|}{\left|-4xy\right|}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\left|x\right|}{\left|y\right|}=\frac{\left|x\right|}{2\left|y\right|},
válido para \;x\neq0 e \;y\neq0.

Resposta

\dfrac{\left|x\right|}{2\left|y\right|} (para \;x\neq0 e \;y\neq0)

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