Calcule as expressões.
h) \frac{\sqrt{x^{2}}}{|x|}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão \dfrac{\sqrt{x^{2}}}{|x|}.
Informações dadas:
  • A variável é x (presume-se x\in\mathbb{R}).
  • Aparecem o radical quadrado \sqrt{\;\cdot\;} e o valor absoluto |\cdot|.
    O objetivo é simplificar essa expressão e analisar em quais valores de x a expressão está definida.

Passo 2

Entender bem as definições que vamos usar (vai ajudar a não cair em erro):
  • Definição do radicando principal: para a\ge 0\), \(\sqrt{a}\) é o número não negativo cuja segunda potência é \(a\). Em particular, para qualquer \(x\in\mathbb{R}\) temos \(\sqrt{x^{2}}\ge 0\). - Definição do valor absoluto: para \(x\in\mathbb{R}\), \[|x|=\begin{cases} x, & \text{se }x\ge 0,\\[4pt] -x, & \text{se }x<0. \end{cases}
Observação importante: para todo x\in\mathbb{R}\] vale a identidade \[\sqrt{x^{2}}=|x|.\] Isso é consequência direta das definições acima: \(x^{2}\ge0 e a raiz principal retorna o número não negativo cuja quadrado é x^{2}, que é exatamente |x|.]

Passo 3

Aplicando a identidade \sqrt{x^{2}}=|x| na expressão dada:
\frac{\sqrt{x^{2}}}{|x|}=\frac{|x|}{|x|}.
Aqui pare e pense: dividir uma quantidade por ela mesma dá 1, mas isso só é válido quando não estamos dividindo por zero. Portanto precisamos analisar o caso x=0 separadamente.

Passo 4

Analisar os dois casos principais:
  • Se x\neq 0, então |x|>0 e a divisão é bem definida. Logo
\frac{|x|}{|x|}=1.
  • Se x=0, então |x|=0 e estamos diante de \dfrac{0}{0}, que é uma forma indefinida: a expressão não está definida por divisão por zero.

Passo 5

Para consolidar a intuição, veja dois exemplos numéricos rápidos:
  • x=3: \sqrt{3^{2}}= \sqrt{9}=3 e |3|=3, então \dfrac{\sqrt{3^{2}}}{|3|}=\dfrac{3}{3}=1.
  • x=-2: \sqrt{(-2)^{2}}=\sqrt{4}=2 e |-2|=2, então \dfrac{\sqrt{(-2)^{2}}}{|-2|}=\dfrac{2}{2}=1.
    Isso confirma que para x\neq0 o resultado é 1. Para x=0 não dá para dividir.

Resposta

1 para x\neq 0
Indefinido para x=0

Exercícios relacionados