Obtenha o desenvolvimento em série de Fourier das funções:
f(x)=|\operatorname{sen} x|

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Obter o desenvolvimento em série de Fourier da função f(x)=|\operatorname{sen}x|.
Informações dadas/úteis:
  • A função é f(x)=|\operatorname{sen}x| para todo x.
  • Não foi dado intervalo explícito, então vamos considerar a expansão padrão em série de Fourier com período 2\pi (ou seja, a expansão em (- \pi,\pi) repetida periodicamente).
  • Observação útil (que vem do próprio enunciado e da definição de f): f(x) é uma função par, porque |\operatorname{sen}(-x)|=|\!-\operatorname{sen}x|=|\operatorname{sen}x|.
O que vamos entregar:
  • As fórmulas dos coeficientes da série (explicadas passo a passo) e, por fim, a série de Fourier de f(x)=|\operatorname{sen}x|.

Passo 2

Por que escolher a expansão em (- \pi,\pi) e que tipo de termos esperar
  • Em geral, quando não se especifica o intervalo, a série de Fourier padrão é a expansão periódica de período 2\pi obtida a partir dos coeficientes
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx,\qquad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx,\qquad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx.
  • Como f é par ( f(-x)=f(x)), todos os coeficientes b_n serão zero. Portanto a série terá apenas termos constantes e cossenos:
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos(nx).
  • Então nosso trabalho é calcular a_0 e a_n.

Passo 3

Cálculo de a_0 (constante média)
Usamos a definição:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |\operatorname{sen}x|\,dx.
Como f é par, podemos dobrar a integral em [0,\pi]:
a_0=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} |\operatorname{sen}x|\,dx.
No intervalo [0,\pi], \operatorname{sen}x\ge 0, logo |\operatorname{sen}x|=\operatorname{sen}x. Assim
a_0=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}x\,dx.
Agora integramos \operatorname{sen}x:
\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}x\,dx=[-\operatorname{cos}x]_{0}^{\pi}=-(\operatorname{cos}\pi-\operatorname{cos}0)= -(-1-1)=2.
Portanto
a_0=\frac{2}{\pi}\cdot 2=\frac{4}{\pi}.
Lembrete prático: o termo constante na série aparece como a_0/2, então o termo constante será \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{2}{\pi}.

Passo 4

Fórmula para a_n e simplificação usando simetria
A fórmula é
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |\operatorname{sen}x|\cos(nx)\,dx.
Como f é par e \cos(nx) também é par, o produto é par; podemos escrever
a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} |\operatorname{sen}x|\cos(nx)\,dx.
Novamente em [0,\pi] temos |\operatorname{sen}x|=\operatorname{sen}x, então
a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} \operatorname{sen}x\cos(nx)\,dx.
Nossa tarefa agora é calcular a integral
I_n:=\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}x\cos(nx)\,dx,
para n=1,2,3,\dots.

Passo 5

Cálculo de I_n usando identidades trigonométricas
Usamos a identidade produto-para-soma
\operatorname{sen}A\cos B=\tfrac{1}{2}\big(\operatorname{sen}(A+B)+\operatorname{sen}(A-B)\big).
Aplicando com A=x e B=nx,
\operatorname{sen}x\cos(nx)=\tfrac{1}{2}\big(\operatorname{sen}((n+1)x)+\operatorname{sen}((1-n)x)\big).
Logo
I_n=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}((n+1)x)\,dx+\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}((1-n)x)\,dx.
Agora usamos a fórmula geral (fácil de verificar por integração)
\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}(kx)\,dx=\frac{1-(-1)^k}{k},
válida para inteiro k (essa fórmula vem de [-\cos(kx)/k]_0^\pi). Note que se k é par o resultado é zero, se k é ímpar o resultado é 2/k.
Aplicando para k=n+1 e k=1-n. Observe que \operatorname{sen}((1-n)x)=-\operatorname{sen}((n-1)x), então
\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}((1-n)x)\,dx=-\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}((n-1)x)\,dx.
Usando a fórmula para integrais de \sin(kx) obtemos
I_n=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1-(-1)^{\,n+1}}{n+1}-\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1-(-1)^{\,n-1}}{n-1}.
Agora simplificamos: note que 1-(-1)^{n+1}=1+(-1)^n e 1-(-1)^{n-1}=1+(-1)^n. Portanto os dois numeradores são iguais e
I_n=\tfrac{1}{2}\big(1+(-1)^n\big)\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1}\right).
Calculando a diferença das frações:
\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1}=\frac{n-1-(n+1)}{(n+1)(n-1)}=\frac{-2}{n^2-1}.
Logo
I_n=\tfrac{1}{2}\big(1+(-1)^n\big)\cdot\frac{-2}{n^2-1}=-\frac{1+(-1)^n}{n^2-1}.

Passo 6

Interpretação do fator \,1+(-1)^n e cálculo de a_n
  • Se n é ímpar então (-1)^n=-1 e 1+(-1)^n=0. Logo I_n=0 e assim a_n=0 para n ímpar.
  • Se n é par, escreva n=2k com k\in\mathbb{N}. Então (-1)^n=1 e 1+(-1)^n=2. Substituindo em I_n:
I_{2k}=-\frac{2}{(2k)^2-1}=-\frac{2}{4k^2-1}.
Agora lembramos que
a_n=\frac{2}{\pi}I_n,
portanto, para n ímpar a_n=0, e para n=2k temos
a_{2k}=\frac{2}{\pi}\cdot\left(-\frac{2}{4k^2-1}\right)=-\frac{4}{\pi(4k^2-1)}.

Passo 7

Escrevendo a série usando só os termos não nulos
Lembrando que o termo constante é a_0/2=\dfrac{2}{\pi} (veja Passo 3) e que apenas os coeficientes a_{2k} são não nulos, a série escrita somando apenas os termos não nulos fica (aqui só se monta a forma da soma, o valor final compacto será na seção de resposta):
|\operatorname{sen}x|=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty} a_{2k}\cos(2kx),
com a_0/2=\dfrac{2}{\pi} e a_{2k}=-\dfrac{4}{\pi(4k^2-1)}.

Resposta

|\operatorname{sen}x|=\frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos(2kx)}{4k^{2}-1}.

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