Obtenha o desenvolvimento em série de Fourier das funções:
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Obter o desenvolvimento em série de Fourier da função
.
Informações dadas/úteis:
- A função é
para todo . - Não foi dado intervalo explícito, então vamos considerar a expansão padrão em série de Fourier com período
(ou seja, a expansão em repetida periodicamente). - Observação útil (que vem do próprio enunciado e da definição de
): é uma função par, porque .
O que vamos entregar:
- As fórmulas dos coeficientes da série (explicadas passo a passo) e, por fim, a série de Fourier de
.
Passo 2
Por que escolher a expansão em
e que tipo de termos esperar
- Em geral, quando não se especifica o intervalo, a série de Fourier padrão é a expansão periódica de período
obtida a partir dos coeficientes
- Como
é par ( ), todos os coeficientes serão zero. Portanto a série terá apenas termos constantes e cossenos:
- Então nosso trabalho é calcular
e .
Passo 3
Cálculo de
(constante média)
Usamos a definição:
Como
é par, podemos dobrar a integral em
:
No intervalo
,
, logo
. Assim
Agora integramos
:
Portanto
Lembrete prático: o termo constante na série aparece como
, então o termo constante será
.
Passo 4
Fórmula para
e simplificação usando simetria
A fórmula é
Como
é par e
também é par, o produto é par; podemos escrever
Novamente em
temos
, então
Nossa tarefa agora é calcular a integral
para
.
Passo 5
Cálculo de
usando identidades trigonométricas
Usamos a identidade produto-para-soma
Aplicando com
e
,
Logo
Agora usamos a fórmula geral (fácil de verificar por integração)
válida para inteiro
(essa fórmula vem de
). Note que se
é par o resultado é zero, se
é ímpar o resultado é
.
Aplicando para
e
. Observe que
, então
Usando a fórmula para integrais de
obtemos
Agora simplificamos: note que
e
. Portanto os dois numeradores são iguais e
Calculando a diferença das frações:
Logo
Passo 6
Interpretação do fator
e cálculo de
- Se
é ímpar então e . Logo e assim para ímpar. - Se
é par, escreva com . Então e . Substituindo em :
Agora lembramos que
portanto, para
ímpar
, e para
temos
Passo 7
Escrevendo a série usando só os termos não nulos
Lembrando que o termo constante é
(veja Passo 3) e que apenas os coeficientes
são não nulos, a série escrita somando apenas os termos não nulos fica (aqui só se monta a forma da soma, o valor final compacto será na seção de resposta):
com
e
.