Calcule as expressões e represente o resultado na forma de raiz, sem transformar em potências:
d) \sqrt[3]{\sqrt[2]{3^{n}}}=

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular e simplificar a expressão \sqrt[3]{\sqrt[2]{3^{n}}} e apresentar o resultado na forma de raiz (ou seja, como uma raiz aninhada ou única), sem transformá‑la em potências do tipo 3^{\text{algo}}. As informações relevantes: a expressão é uma raiz cúbica aplicada à raiz quadrada de 3^{n}.

Passo 2

Conceito útil (explicado de forma simples): a raiz k-ésima de um número a, escrita \sqrt[k]{a}, é o número que elevado à potência k retorna a. Uma propriedade prática das raízes aninhadas é que duas raízes sucessivas podem ser combinadas num só índice: se tiramos primeiro uma raiz de índice q e depois uma raiz de índice p, existe uma raiz única de índice pq que dá o mesmo resultado. Vou mostrar por que isso vale (passo a passo matemático curto).

Passo 3

Justificativa da propriedade (passo a passo): considere x positivo e índices inteiros p,q>0. Primeiro temos \sqrt[q]{x}, que é o número que, elevado à potência q, dá x. Aplicando depois \sqrt[p]{\cdot} sobre esse resultado, obtemos um número que elevado à potência p \sqrt[q]{x}. Em termos de manipulação simbólica:
\sqrt[p]{\sqrt[q]{x}}=\sqrt[p]{y}\quad\text{com}\quad y=\sqrt[q]{x}.
Pelo significado de raiz, se y=\sqrt[q]{x} então y^{q}=x. Agora, \sqrt[p]{y} é um número z tal que z^{p}=y. Juntando, z^{p q}=(z^{p})^{q}=y^{q}=x, logo z é uma raiz de índice pq de x. Portanto
\sqrt[p]{\sqrt[q]{x}}=\sqrt[pq]{x}.

Passo 4

Aplicando a propriedade ao nosso caso: aqui p=3, q=2 e x=3^{n}. Então, pela propriedade,
\sqrt[3]{\sqrt[2]{3^{n}}}=\sqrt[3\cdot 2]{3^{n}}=\sqrt[6]{3^{n}}.
Isto é, a raiz cúbica da raiz quadrada de 3^{n} é igual à raiz sexta de 3^{n}. Note que aqui mantemos tudo na forma de raiz, conforme pedido.

Passo 5

Observação prática para a prova (dica amiga): se for útil, e se n for múltiplo de 6 (por exemplo n=6k com k inteiro), pode extrair a potência inteira da raiz: \sqrt[6]{3^{6k}}=3^{k}. Mas quando não se quer usar potências fracionárias, a forma \sqrt[6]{3^{n}} é a resposta adequada e direta.

Resposta

\sqrt[6]{3^{n}}

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