Calcule os seguintes limites, caso existam.
Passo 1
O enunciado pede que se calcule o seguinte limite (quando existir):
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão envolve o valor absoluto
, que tem comportamento diferente à direita e à esquerda de . - Para decidir se o limite existe devemos verificar o comportamento quando
se aproxima de pela direita ( ) e pela esquerda ( ). O limite existe e é finito somente se ambos os limites laterais existem e são iguais.
Passo 2
Lembrando a definição do valor absoluto, que vamos usar explicitamente:
Isto significa que, para analisar
, é natural separar em duas situações:
(onde
) e
(onde
). Vou calcular os dois limites laterais.]
Passo 3
Cálculo do limite pela direita
. Para
temos
, então a expressão é
Como a expressão é exatamente
para todo
, o limite por
é
Passo 4
Cálculo do limite pela esquerda
. Para
temos
(note que
quando
). Então
Como
, simplificamos:
Portanto, para
a expressão é
. Agora, ao fazer
(isto é, aproximar-se de
por valores negativos),
tende para
, porque o numerador é positivo e o denominador tende a
por valores negativos. Logo
Passo 5
Conclusão sobre o limite bilateral: os limites laterais são diferentes — pela direita deu
e pela esquerda deu
. Como os limites laterais não são iguais (nem ambos finitos), o limite bilateral
não existe.
Resposta
Não existe.