Calcule os seguintes limites, caso existam.
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\right)

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o seguinte limite (quando existir):
\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\right).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão envolve o valor absoluto |x|, que tem comportamento diferente à direita e à esquerda de 0.
  • Para decidir se o limite existe devemos verificar o comportamento quando x se aproxima de 0 pela direita ( x\to 0^+) e pela esquerda ( x\to 0^-). O limite \lim_{x\to0} f(x) existe e é finito somente se ambos os limites laterais existem e são iguais.

Passo 2

Lembrando a definição do valor absoluto, que vamos usar explicitamente:
|x|=\begin{cases} x, & x\ge 0,\\[4pt] -x, & x<0. \end{cases}
Isto significa que, para analisar \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{|x|}, é natural separar em duas situações: x\to0^+ (onde |x|=x) e x\to0^- (onde |x|=-x). Vou calcular os dois limites laterais.]

Passo 3

Cálculo do limite pela direita x\to0^+. Para x>0 temos |x|=x, então a expressão é
\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x}=0.
Como a expressão é exatamente 0 para todo x>0, o limite por 0^+ é
\lim_{x\to0^+}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\right)=0.

Passo 4

Cálculo do limite pela esquerda x\to0^-. Para x<0 temos |x|=-x (note que -x>0 quando x<0). Então
\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}=\frac{1}{x}-\frac{1}{-x}.
Como \dfrac{1}{-x}=-\dfrac{1}{x}, simplificamos:
\frac{1}{x}-\frac{1}{-x}=\frac{1}{x}-\bigl(-\frac{1}{x}\bigr)=\frac{2}{x}.
Portanto, para x<0 a expressão é \dfrac{2}{x}. Agora, ao fazer x\to0^- (isto é, aproximar-se de 0 por valores negativos), \dfrac{2}{x} tende para -\infty, porque o numerador é positivo e o denominador tende a 0 por valores negativos. Logo
\lim_{x\to0^-}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\right)=-\infty.

Passo 5

Conclusão sobre o limite bilateral: os limites laterais são diferentes — pela direita deu 0 e pela esquerda deu -\infty. Como os limites laterais não são iguais (nem ambos finitos), o limite bilateral \lim_{x\to0}\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{|x|}\right) não existe.

Resposta

Não existe.

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