Determine a função inversa de
definida por
. Qual o domínio e a imagem de
? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado fornece a função
definida por
. As tarefas são:
- Determinar a função inversa
. - Determinar o domínio de
. - Determinar a imagem de
.
Informações dadas (resumindo):
- Domínio de
: . - Contradomínio (informado) de
: . - Fórmula de
: .
Passo 2
O que significa achar a inversa?
Se , então a inversa é a função que, recebendo
, devolve o
original:
. Em termos práticos, para achar
a técnica é:
Se
- escrever
; - resolver essa igualdade em função de
(isolando em termos de ); - reescrever trocando o papel das letras, se quiser, usando
como variável da inversa.
Importante sobre domínio e imagem:
- O domínio de
é a imagem (alcance) da função . - A imagem de
é o domínio de .
Passo 3
Vamos isolar
. Começo por escrever
Agora aplico a função exponencial (que é a inversa do
) em ambos os lados para “desfazer” o
:
Isolando
obtenho
Portanto a inversa, em função de
, é
É costume reescrever a variável independente como
. Assim a fórmula da inversa fica
Passo 4
Agora determinar o domínio de
. Pelo fato geral dito antes, o domínio de
é a imagem de
. Então precisamos descobrir a imagem de
quando
.
Faça a substituição
. Se
então
. A função
mapeia
em todos os números reais: a
é contínua e estritamente crescente e satisfaz
e
. Logo a imagem de
em
é
.
Portanto a imagem de
é
, e assim o domínio de
é
Passo 5
Determinar a imagem de
. Pelo fato geral, a imagem de
é o domínio de
, isto é
. Também dá para ver diretamente pela fórmula
: como
para todo
, segue que
. Portanto
Passo 6
Verificação rápida (confirmação): calcular as composições para checar que são identidades.
e
Isto confirma que as fórmulas e os domínios/imagens estão corretos.