Determine a função inversa de f:(-2, \infty) \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=\ln (x+2). Qual o domínio e a imagem de f^{-1} ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado fornece a função f:(-2,\infty)\to\mathbb{R} definida por f(x)=\ln(x+2). As tarefas são:
  • Determinar a função inversa f^{-1}.
  • Determinar o domínio de f^{-1}.
  • Determinar a imagem de f^{-1}.
Informações dadas (resumindo):
  • Domínio de f: (-2,\infty).
  • Contradomínio (informado) de f: \mathbb{R}.
  • Fórmula de f: f(x)=\ln(x+2).

Passo 2

O que significa achar a inversa?
Se y=f(x), então a inversa é a função que, recebendo y, devolve o x original: x=f^{-1}(y). Em termos práticos, para achar f^{-1} a técnica é:
  • escrever y=f(x);
  • resolver essa igualdade em função de x (isolando x em termos de y);
  • reescrever trocando o papel das letras, se quiser, usando x como variável da inversa.
Importante sobre domínio e imagem:
  • O domínio de f^{-1} é a imagem (alcance) da função f.
  • A imagem de f^{-1} é o domínio de f.

Passo 3

Vamos isolar x. Começo por escrever
y=\ln(x+2).
Agora aplico a função exponencial (que é a inversa do \ln) em ambos os lados para “desfazer” o \ln:
e^{y}=x+2.
Isolando x obtenho
x=e^{y}-2.
Portanto a inversa, em função de y, é
f^{-1}(y)=e^{y}-2.
É costume reescrever a variável independente como x. Assim a fórmula da inversa fica
f^{-1}(x)=e^{x}-2.

Passo 4

Agora determinar o domínio de f^{-1}. Pelo fato geral dito antes, o domínio de f^{-1} é a imagem de f. Então precisamos descobrir a imagem de f(x)=\ln(x+2) quando x\in(-2,\infty).
Faça a substituição t=x+2. Se x\in(-2,\infty) então t\in(0,\infty). A função \ln mapeia (0,\infty) em todos os números reais: a \ln é contínua e estritamente crescente e satisfaz \lim_{t\to0^+}\ln t=-\infty e \lim_{t\to\infty}\ln t=+\infty. Logo a imagem de \ln em (0,\infty) é \mathbb{R}.
Portanto a imagem de f é \mathbb{R}, e assim o domínio de f^{-1} é
\text{Dom}(f^{-1})=\mathbb{R}.

Passo 5

Determinar a imagem de f^{-1}. Pelo fato geral, a imagem de f^{-1} é o domínio de f, isto é (-2,\infty). Também dá para ver diretamente pela fórmula f^{-1}(x)=e^{x}-2: como e^{x}\in(0,\infty) para todo x\in\mathbb{R}, segue que e^{x}-2\in(-2,\infty). Portanto
\text{Im}(f^{-1})=(-2,\infty).

Passo 6

Verificação rápida (confirmação): calcular as composições para checar que são identidades.
f(f^{-1}(x))=\ln\big((e^{x}-2)+2\big)=\ln(e^{x})=x\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R},
e
f^{-1}(f(x))=e^{\ln(x+2)}-2=(x+2)-2=x\quad\text{para todo }x\in(-2,\infty).
Isto confirma que as fórmulas e os domínios/imagens estão corretos.

Resposta

f^{-1}(x)=e^{x}-2
\text{Dom}(f^{-1})=\mathbb{R}
\text{Im}(f^{-1})=(-2,\infty)

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