Calcule as expressões e represente o resultado na forma de raiz, sem transformar em potências:
h) \frac{6}{\sqrt{27}}-\sqrt{3}=

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a expressão e que o resultado seja representado na forma de raiz (sem usar potências). A expressão dada é:
\frac{6}{\sqrt{27}}-\sqrt{3}.
O objetivo é simplificar essa expressão e apresentar o resultado usando raízes (símbolo \sqrt{\\ }).

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a raiz que aparece no denominador, \sqrt{27}. Usamos a propriedade
\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\,\sqrt{b}\quad\text{(para \(a,b\ge0\))},
e escrevemos 27=9\cdot3. Assim,
\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=\sqrt{9}\,\sqrt{3}=3\sqrt{3}.
Comentário rápido: isso é muito útil quando dentro da raiz há um quadrado perfeito (aqui 9) — ele sai da raiz como número inteiro.

Passo 3

Substituindo \sqrt{27}=3\sqrt{3} na expressão original temos
\frac{6}{\sqrt{27}}-\sqrt{3}=\frac{6}{3\sqrt{3}}-\sqrt{3}.
Agora simplificamos a fração \dfrac{6}{3\sqrt{3}} dividindo numerador e denominador por 3:
\frac{6}{3\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}.
Portanto a expressão fica
\frac{2}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}.

Passo 4

Para somar/subtrair frações com raízes, colocamos tudo sobre o mesmo denominador. Escrevemos \sqrt{3} como \dfrac{\sqrt{3}}{1} e usamos denominador comum \sqrt{3}:
\frac{2}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}=\frac{2}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{1}=\frac{2-(\sqrt{3})^2}{\sqrt{3}}.
Aqui usamos (\sqrt{3})^2=3.

Passo 5

Calculando o numerador:
2-(\sqrt{3})^2=2-3=-1.
Logo a expressão vale
\frac{-1}{\sqrt{3}}.
Isto já está em forma de raiz, mas tem um denominador irracional ( \sqrt{3}). Em muitos contextos prefere-se racionalizar o denominador.

Passo 6

Racionalizamos o denominador multiplicando numerador e denominador por \sqrt{3}:
\frac{-1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{3}\,\sqrt{3}}=\frac{-\sqrt{3}}{3}.
Observação: não se usou potências, apenas propriedades de raízes; o denominador ficou racional ( 3) e o resultado está na forma de raiz.

Resposta

-\dfrac{\sqrt{3}}{3}

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