Calcule as expressões e represente o resultado na forma de raiz, sem transformar em potências:
j) \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}-\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}=

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão e representar o resultado na forma de raiz (sem usar potências). A expressão dada é:
\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}-\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}.
Informações relevantes e domínio: para que as raízes e as divisões façam sentido, é preciso que \,x>0 e \,y>0. O que se pede é simplificar essa expressão mantendo a notação de raiz.

Passo 2

Lembrete útil sobre raízes (fórmulas que vou usar):
  • Para números não negativos a e b vale \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}.
  • Se fizer \sqrt{a}\cdot\sqrt{a} com a\ge0, o resultado é a (pois \sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a).
Essas propriedades permitem manipular produtos e quocientes envolvendo raízes sem usar expoentes fracionários.

Passo 3

Coloco os termos sobre um denominador comum para combinar a subtração:
\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}-\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}-\sqrt{y}\cdot\sqrt{y}}{\sqrt{y}\cdot\sqrt{x}}.
Agora uso \sqrt{x}\cdot\sqrt{x}=x e \sqrt{y}\cdot\sqrt{y}=y, e \sqrt{y}\cdot\sqrt{x}=\sqrt{xy}. Assim:
\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}-\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} = \frac{x-y}{\sqrt{xy}}.

Passo 4

Se quiser ver a expressão escrevendo tudo em termos de raízes (sem deixar x-y “solto”), fatoro a diferença de quadrados usando a=\sqrt{x} e b=\sqrt{y}, pois x=a^2 e y=b^2:
x-y=(\sqrt{x})^2-(\sqrt{y})^2=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y}).
Substituindo na fração obtém-se a forma equivalente
\frac{x-y}{\sqrt{xy}} = \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{xy}}.
Ambas as formas estão em “forma de raiz” (não usei potências).

Passo 5

Resumo e interpretação prática: a forma mais simples e direta é \dfrac{x-y}{\sqrt{xy}}. Se preferir expor explicitamente somente fatores em raiz, use a forma fatorada mostrada no passo anterior. Lembre-se do domínio: \,x>0 e \,y>0.

Resposta

\dfrac{x-y}{\sqrt{xy}}

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