Calcule as expressões e represente o resultado na forma de raiz, sem transformar em potências:
f) \frac{x^{3}}{\sqrt{x}}=

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão e apresentar o resultado na forma de raiz (ou seja, usando símbolo de raiz, não expoentes fracionários). A expressão dada é:
\frac{x^{3}}{\sqrt{x}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão envolve potências e raiz quadrada.
  • Para que a raiz quadrada seja real, assume-se implicitamente que \,x\ge 0.

Passo 2

Vamos lembrar uma regra fundamental de potências que usaremos: quando dividimos potências de mesma base, subtrai-se os expoentes. Em símbolos:
\frac{x^{a}}{x^{b}} = x^{a-b},
onde a e b são números (os expoentes) e x é a base (a variável). Exemplo simples para fixar a ideia:
\frac{x^{5}}{x^{2}} = x^{5-2} = x^{3}.

Passo 3

A raiz quadrada também pode ser vista como potência de expoente \tfrac{1}{2}. Ou seja,
\sqrt{x} = x^{1/2}.
Aplicando a regra da divisão de potências à expressão original, primeiro escrevemos:
\frac{x^{3}}{\sqrt{x}} = \frac{x^{3}}{x^{1/2}}.
Agora subtrai-se os expoentes:
3 - \tfrac{1}{2} = \tfrac{6}{2} - \tfrac{1}{2} = \tfrac{5}{2}.
Portanto
\frac{x^{3}}{\sqrt{x}} = x^{5/2}.

Passo 4

Explicar como passar de uma potência fracionária para notação de raiz. A regra geral é:
x^{m/n} = \sqrt[n]{x^{m}} = \bigl(\sqrt[n]{x}\bigr)^{m},
onde m e n são inteiros positivos. No nosso caso m=5 e n=2, então
x^{5/2} = \sqrt{x^{5}} = \bigl(\sqrt{x}\bigr)^{5}.
Essas duas formas são equivalentes; ambas usam a notação de raiz (sem expoentes fracionários expostos).

Passo 5

Podemos também simplificar a raiz para tirarmos potências perfeitas de dentro do radical, o que geralmente deixa a expressão mais simples para usar na prova. Observe que
x^{5} = x^{4}\cdot x = (x^{2})^{2}\cdot x.
Assim,
\sqrt{x^{5}} = \sqrt{(x^{2})^{2}\cdot x} = \sqrt{(x^{2})^{2}}\cdot\sqrt{x}.
Como estamos assumindo \,x\ge 0, tem-se \sqrt{(x^{2})^{2}} = x^{2}. Logo
\sqrt{x^{5}} = x^{2}\sqrt{x}.

Passo 6

Concluímos que a expressão original, escrita na forma de raiz (sem expoentes fracionários), fica
x^{2}\sqrt{x},
válida para \,x\ge 0. Esta é a forma simplificada em radical que é fácil de manipular numa prova.

Resposta

x^{2}\sqrt{x}

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