Calcule f * g pela fórmula f * g(t)=\int_{0}^{t} f(x) g(t-x) d x.
t * t^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a convolução de f e g definida por
(f*g)(t)=\int_{0}^{t}f(x)\,g(t-x)\,dx,
onde f(x)=x e g(x)=x^{2}. Vamos usar essa fórmula direta para resolver.

Passo 2

Substituindo f(x)=x e g(t-x)=(t-x)^{2} na definição, obtemos
(f*g)(t)=\int_{0}^{t}x\,(t-x)^{2}\,dx.

Passo 3

Expandimos o integrando:
x\,(t-x)^{2}=x\bigl(t^{2}-2t x + x^{2}\bigr) = t^{2}x \;-\;2t\,x^{2}\;+\;x^{3}.
Logo
(f*g)(t)=\int_{0}^{t}\bigl(t^{2}x - 2t\,x^{2} + x^{3}\bigr)dx.

Passo 4

Integramos termo a termo:
\int_{0}^{t}t^{2}x\,dx = t^{2}\,\frac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{t} = \frac{t^{4}}{2},
\int_{0}^{t}2t\,x^{2}\,dx =2t\,\frac{x^{3}}{3}\Big|_{0}^{t} = \frac{2t^{4}}{3},
\int_{0}^{t}x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}\Big|_{0}^{t} = \frac{t^{4}}{4}.
Portanto,
(f*g)(t) = \frac{t^{4}}{2} \;-\;\frac{2t^{4}}{3}\;+\;\frac{t^{4}}{4}.

Passo 5

Somando os coeficientes com denominador comum 12:
\frac{6t^{4}}{12}-\frac{8t^{4}}{12}+\frac{3t^{4}}{12} =\frac{(6-8+3)\,t^{4}}{12} =\frac{t^{4}}{12}.

Resposta

(f*g)(t)=\frac{t^{4}}{12}.

Exercícios relacionados