Determine as transformadas inversas de Laplace das seguintes funções usando frações parciais:
frac{2 s^{2}-3 s}{(s-2)(s-1)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=\frac{2s^{2}-3s}{(s-2)(s-1)^{2}}
O conteúdo principal é decompor F(s) em frações parciais e depois usar pares básicos de Laplace como \mathcal{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{1}{s-a}\bigr\}=e^{at} e \mathcal{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{1}{(s-a)^{2}}\bigr\}=t\,e^{at}.

Passo 2

Escrevemos a decomposição em frações parciais:
\frac{2s^{2}-3s}{(s-2)(s-1)^{2}} =\frac{A}{s-2}+\frac{B}{s-1}+\frac{C}{(s-1)^{2}}

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (s-2)(s-1)^{2} e agrupamos termos:
2s^{2}-3s =A\,(s-1)^{2}+B\,(s-2)(s-1)+C\,(s-2).
Expandindo:
A(s^{2}-2s+1)+B(s^{2}-3s+2)+C\,s-2C =2s^{2}-3s.
Coletando coeficientes de s^{2}, s e termo constante, obtemos o sistema
\begin{cases} A + B = 2,\\\\ -2A -3B + C = -3,\\\ A +2B -2C = 0. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação A=2-B. Substituindo nas outras:
-2(2-B)-3B+C=-3\implies -4+2B-3B+C=-3\implies C=B+1,
(2-B)+2B-2(B+1)=0\implies -B=0\implies B=0.
Logo B=0, A=2 e C=1.

Passo 5

A decomposição fica
F(s)=\frac{2}{s-2}+\frac{1}{(s-1)^{2}}.
Aplicando transformada inversa termo a termo: \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{2}{s-2}\}=2e^{2t} e \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{(s-1)^{2}}\}=t\,e^{t}.

Resposta

A transformada inversa de Laplace é
f(t)=2\,e^{2t}+t\,e^{t},\quad t\ge0.

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