Calcule f * g pela fórmula f * g(t)=\int_{0}^{t} f(x) g(t-x) d x.
1 * \cos t

Passo 1

O enunciado pede a convolução das funções f(x)=1 e g(x)=\cos x pelo operador\r
(f*g)(t)=\int_{0}^{t}f(x)\,g(t-x)\,dx.\r
O conteúdo necessário envolve a definição de convolução e técnicas básicas de integração.

Passo 2

Aplicando diretamente a definição, obtemos\r
(f*g)(t)=\int_{0}^{t}1\cdot\cos\bigl(t - x\bigr)\,dx =\int_{0}^{t}\cos\bigl(t - x\bigr)\,dx.

Passo 3

Para calcular a integral, use a substituição u = t - x, de modo que du = -dx. Quando x=0, u=t; e quando x=t, u=0. Assim,\r
\int_{0}^{t}\cos\bigl(t - x\bigr)\,dx =\int_{u=t}^{u=0}\cos(u)\,(-du) =\int_{0}^{t}\cos(u)\,du =\bigl[\sin(u)\bigr]_{0}^{t} =\sin(t).

Resposta

(f*g)(t)=\sin(t).

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