Calcule f * g pela fórmula f * g(t)=\int_{0}^{t} f(x) g(t-x) d x.
e^{2 t} * e^{3 t}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a convolução
(f*g)(t)=\int_{0}^{t}f(x)\,g(t-x)\,dx
quando f(t)=e^{2t} e g(t)=e^{3t}. Vamos usar a definição de convolução e integrar diretamente.

Passo 2

Substituindo f(x)=e^{2x} e g(t-x)=e^{3(t-x)} no integral, obtemos
(f*g)(t) =\int_{0}^{t}e^{2x}\,e^{3(t-x)}\,dx =\int_{0}^{t}e^{3t}\,e^{2x-3x}\,dx =e^{3t}\int_{0}^{t}e^{-x}\,dx.

Passo 3

Calculamos o integral de e^{-x}:
\int_{0}^{t}e^{-x}\,dx =\bigl[-e^{-x}\bigr]_{0}^{t} =1-e^{-t}.
Portanto
(f*g)(t) =e^{3t}\bigl(1-e^{-t}\bigr) =e^{3t}-e^{2t}.

Resposta

(f*g)(t)=e^{3t}-e^{2t}.

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