Calcule f * g pela fórmula f * g(t)=\int_{0}^{t} f(x) g(t-x) d x.
\operatorname{sen} t * \operatorname{sen} t

Passo 1

O enunciado pede a convolução das funções f(t)=\operatorname{sen}t e g(t)=\operatorname{sen}t pelo integral
(f*g)(t)=\int_{0}^{t}f(x)\,g(t-x)\,dx.
O conteúdo envolve identidade trigonométrica para produto de senos e depois integração simples.

Passo 2

Usamos a identidade
\operatorname{sen}(x)\,\operatorname{sen}(t-x) =\frac{1}{2}\Bigl[\cos\bigl(x-(t-x)\bigr)-\cos\bigl(x+(t-x)\bigr)\Bigr] =\frac{1}{2}\bigl[\cos(2x-t)-\cos t\bigr].
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(f*g)(t) =\int_{0}^{t}\operatorname{sen}(x)\,\operatorname{sen}(t-x)\,dx =\frac{1}{2}\int_{0}^{t}\bigl[\cos(2x-t)-\cos t\bigr]dx.

Passo 3

Calculemos o primeiro termo:
\int_{0}^{t}\cos(2x-t)\,dx.
Faça a troca de variável u=2x-t, então du=2\,dx e os limites vão de u=-t a u=+t. Assim
\int_{0}^{t}\cos(2x-t)\,dx =\frac12\int_{-t}^{t}\cos u\,du =\frac12\bigl[\sin u\bigr]_{-t}^{t} =\frac12\bigl(\sin t-\sin(-t)\bigr) =\sin t.

Passo 4

O segundo termo é trivial, pois \cos t é constante em x:
\int_{0}^{t}\cos t\,dx =\cos t\int_{0}^{t}dx =t\cos t.

Passo 5

Juntando os resultados no integral original:
(f*g)(t) =\frac{1}{2}\Bigl[\sin t - t\cos t\Bigr].

Resposta

(f*g)(t)=\frac{\sin t - t\cos t}{2}.

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