Ache transformada inversa de Laplace pela convolução:
L^{-1}\left\{\frac{1}{(s+1)^{2}}\}right}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \mathcal L^{-1}\bigl\{\tfrac{1}{(s+1)^{2}}\bigr\} usando o teorema da convolução. Vamos precisar da transformada inversa de \tfrac{1}{s+1} e da definição de convolução em tempo.

Passo 2

Observe que
\frac{1}{(s+1)^{2}} = \frac{1}{s+1}\,\cdot\frac{1}{s+1}.
Então definimos
F(s)=\frac{1}{s+1}, \quad G(s)=\frac{1}{s+1},
cuja transformada inversa é
f(t)=\mathcal L^{-1}\{F(s)\}=e^{-t}, \quad g(t)=\mathcal L^{-1}\{G(s)\}=e^{-t},
para t\ge0.

Passo 3

Pelo teorema da convolução,
\mathcal L^{-1}\{F(s)\,G(s)\} = (f * g)(t) = \int_{0}^{t} f(u)\,g(t - u)\,du.

Passo 4

Substituindo f(u)=e^{-u} e g(t-u)=e^{-(t-u)}, temos
(f * g)(t) = \int_{0}^{t} e^{-u}\,e^{-(t-u)}\,du = \int_{0}^{t} e^{-t}\,du = e^{-t}\int_{0}^{t}du = t\,e^{-t}.

Resposta

\;t\,e^{-t}

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