Calcule.
(f) integral sec ^3(x2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos trabalhando com integração de funções trigonométricas, especificamente a secante elevada ao cubo. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada integração por partes e também substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral usando uma substituição. Vamos definir integral sec^3(x2) dx = 2 integral sec^3(u) du . Isso significa que ou, rearranjando, .
Substituindo na integral, temos:

Passo 3

Agora, precisamos resolver integral u , dv = uv - integral v , du . Para isso, usamos a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
u = sec(u) e dv = sec^2(u) du
Aqui, vamos escolher:
du = sec(u)tan(u) du e v = tan(u)
Então, calculamos e :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral sec^3(u) du = sec(u)tan(u) - integral tan(u) cdot sec(u)tan(u) du
Simplificando a integral resultante:
integral sec^3(u) du = sec(u)tan(u) - integral sec(u)tan^2(u) du
Sabemos que integral sec^3(u) du = sec(u)tan(u) - integral sec(u)(sec^2(u) - 1) du , então substituímos:
= sec(u)tan(u) - integral sec^3(u) du + integral sec(u) du

Passo 5

Agora, isolamos integral sec^3(u) du + integral sec^3(u) du = sec(u)tan(u) + integral sec(u) du :
2 integral sec^3(u) du = sec(u)tan(u) + ln|sec(u) + tan(u)| + C
integral sec^3(u) du = 12 sec(u)tan(u) + 12 ln|sec(u) + tan(u)| + C
Dividindo ambos os lados por 2:

Passo 6

Lembrando que retornamos à variável 2 integral sec^3(u) du = sec(x2)tan(x2) + ln|sec(x2) + tan(x2)| + C usando , substituímos de volta:

Resposta

A integral sec(x2)tan(x2) + ln|sec(x2) + tan(x2)| + C é igual a:

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