Mostre que
Passo 1
Entendendo a Questão
Queremos calcular a integral definida de 0 a 1 da função
em relação a
, e mostrar que o resultado é
.
Conteúdo Envolvido:
- Cálculo Integral: Técnicas de integração, especialmente frações parciais.
- Álgebra: Fatoração de polinômios.
O que vamos precisar:
- Fatorar o polinômio do denominador.
- Decompor a fração em frações parciais.
- Integrar cada parte resultante.
Passo 2
Fatorando o Denominador
Primeiro, vamos fatorar o polinômio do denominador:
.
Tentamos fatorar como o produto de dois polinômios quadráticos:
Expandindo o lado direito:
Comparando com o denominador original:
Assumindo
x^4 - 2x^3 + 4x - 4 = (x^2 - 2x + 2)(x^2 - 2) e
, resolvemos as equações:
Encontramos
e
.
Portanto:
Passo 3
Decompondo em Frações Parciais
Agora, escrevemos a fração original como a soma de frações parciais:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum:
Expandindo e igualando os coeficientes dos termos correspondentes, obtemos o sistema:
Resolvendo o sistema, encontramos:
Portanto, a decomposição é:
Passo 4
Integrando as Frações Parciais
Agora, integramos cada uma das frações separadamente:
- Primeira Integral:
Completa o quadrado no denominador:
A integral se torna:
Usamos substitui��ão
-2 integral u - 1u^2 + 1 , du = -2 ( 12 ln(u^2 + 1) - tan^-1(u) ) + C , então
- ln((x - 1)^2 + 1) + 2 tan^-1(x - 1) + C :
Voltando a
2 integral x + 2x^2 - 2 , dx :
- Segunda Integral:
Simplificamos:
Separando:
Simplificando:
Passo 5
Calculando a Integral Definida de 0 a 1
Somamos as integrais e aplicamos os limites de 0 a 1:
Ao calcular, simplificamos os termos e observamos que todas as partes logarítmicas e arctangentes se cancelam ou somam para resultar em
.