Calcule f^prime, f^prime prime e f^prime prime prime das funções abaixo.
f(t)=t cdot ln (t)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas primeira, segunda e terceira da função
f(t)=tln(t)
Aqui vamos usar o regra do produto, que diz que para u(t)v(t) temos
ddtl[u(t)v(t)r]=u'(t)v(t)+u(t)v'(t),
e também a derivada de ln(t), que é tfrac1t. Note que o domínio natural é t>0.

Passo 2

Vamos achar f'(t). Tomando u(t)=t e v(t)=ln(t), temos u'(t)=1 e v'(t)=tfrac1t. Então
f'(t)=1cdotln(t)+tcdot1t=ln(t)+1

Passo 3

Agora calculamos f''(t), a derivada de f'(t)=ln(t)+1. Como a derivada de ln(t) é tfrac1t e de 1 é zero,
f''(t)=1t

Passo 4

Por fim, f'''(t) é a derivada de f''(t)=tfrac1t. Como tfracddt(t^-1)=-t^-2, temos
f'''(t)=-1t^2

Resposta

f'(t)=ln(t)+1
f''(t)=1t
f'''(t)=-1t^2

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