Resolva os problemas de valor inicial dados abaixo:
a)
b) Use o teorema de existência e unicidade e mostre que no item (a) a soluçāo para o problema de valor inicial é única.
a)
b) Use o teorema de existência e unicidade e mostre que no item (a) a soluçāo para o problema de valor inicial é única.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos o problema de valor inicial
É uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para (a) vamos usar o método do fator integrante e em (b) aplicaremos o teorema de existência e unicidade para mostrar que a solução é única.
Passo 2
Identificamos a equação na forma padrão
onde
e
. O fator integrante é
Passo 3
Multiplicamos toda a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto:
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração.
Passo 5
Isolamos
:
Usamos a condição inicial
:
Passo 6
Substituindo
em
obtemos a solução particular:
Passo 7
Teorema de existência e unicidade (forma simplificada): se escrevemos
e
e
são contínuas numa região que contém o ponto inicial, então o IVP tem solução única nessa região.
Passo 8
No nosso caso
logo
Ambas as funções são contínuas em
e
é limitada, logo satisfaz a condição de Lipschitz em
.
Passo 9
Concluímos que o problema de valor inicial de (a) admite uma única solução definida em todo
.
Resposta
(a)
(b) Como e
são contínuas em
, o Teorema de Existência e Unicidade garante que a solução do IVP de (a) é única.
(b) Como