Resolva os problemas de valor inicial dados abaixo:
a) ly^prime+2 y=x e^-2 x y(1)=0
b) Use o teorema de existência e unicidade e mostre que no item (a) a soluçāo para o problema de valor inicial é única.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o problema de valor inicial
y'+2y = x e^-2x, y(1)=0
É uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para (a) vamos usar o método do fator integrante e em (b) aplicaremos o teorema de existência e unicidade para mostrar que a solução é única.

Passo 2

Identificamos a equação na forma padrão
y' + P(x),y = Q(x),
onde P(x)=2 e Q(x)=x e^-2x. O fator integrante é
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral 2,dx = e^2x

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=e^2x:
e^2xy' + 2e^2xy = x
O lado esquerdo é a derivada do produto:
ddxl(e^2xyr) = x

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^2xy = integral x,dx = x^22 + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Isolamos y:
y(x) = e^-2xl(x^22 + Cr)
Usamos a condição inicial y(1)=0:
0 = e^-2l(tfrac1^22 + Cr) Longrightarrow tfrac12 + C = 0 Longrightarrow C = -tfrac12

Passo 6

Substituindo C em y(x) obtemos a solução particular:
y(x) = e^-2xl(tfracx^22 - tfrac12r) = x^2-12,e^-2x

Passo 7

Teorema de existência e unicidade (forma simplificada): se escrevemos
y' = f(x,y)
e f e partial f/partial y são contínuas numa região que contém o ponto inicial, então o IVP tem solução única nessa região.

Passo 8

No nosso caso
y' = x e^-2x - 2y,
logo
f(x,y) = x e^-2x - 2y, partial fpartial y = -2
Ambas as funções são contínuas em R^2 e partial f/partial y é limitada, logo satisfaz a condição de Lipschitz em y.

Passo 9

Concluímos que o problema de valor inicial de (a) admite uma única solução definida em todo R.

Resposta

(a) y(x) = x^2-12,e^-2x
(b) Como f(x,y)=x e^-2x-2y e partial f/partial y=-2 são contínuas em R^2, o Teorema de Existência e Unicidade garante que a solução do IVP de (a) é única.

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