Determine o vetor gradiente e a derivada direcional no ponto P e na direção do vetor v das funções a seguir:
1.1
f(x, y)=e^x sen(y), P=(0, pi2), v=(-6,8)

Passo 1

O enunciado pede o vetor gradiente de f(x,y)=e^xsin(y) no ponto
P=l(0,pi2r)
e a derivada direcional nesse ponto na direção do vetor vec v =(-6,8).
Conteúdo: cálculo de derivadas parciais para obter nabla f e uso do produto escalar com o vetor unitário da direção para achar a derivada direcional.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f.
A derivada parcial em relação a x é
partial fpartial x(x,y) = partialpartial xl(e^xsin(y)r) = e^xsin(y),
e a derivada parcial em relação a y é
partial fpartial y(x,y) = partialpartial yl(e^xsin(y)r) = e^xcos(y)

Passo 3

Avaliar essas derivadas em P=l(0,tfracpi2r).
Como e^0=1, sin!l(tfracpi2r)=1 e cos!l(tfracpi2r)=0, temos
partial fpartial xl(0,tfracpi2r)=1, partial fpartial yl(0,tfracpi2r)=0
Portanto,
nabla fl(0,tfracpi2r) = l(1,,0r)

Passo 4

Encontrar o vetor unitário na direção de vec v=(-6,8).
O módulo de vec v é
|vec v| = raiz(-6)^2 + 8^2 = raiz36+64 = 10
Logo o vetor unitário é
u = vec v|vec v| = l(-tfrac610,,tfrac810r) = l(-tfrac35,,tfrac45r)

Passo 5

Calcular a derivada direcional como o produto escalar de nabla f(P) com u:
Duf(P) = nabla f(P)cdot u = (1,0)cdotl(-tfrac35,tfrac45r) = 1cdotl(-tfrac35r) + 0cdotl(tfrac45r) = -tfrac35

Resposta

Gradiente em P:
nabla fl(0,tfracpi2r) = (1,,0)
Derivada direcional em P na direção de vec v=(-6,8):
Dvec vfl(0,tfracpi2r) = -tfrac35

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