Determine o vetor gradiente e a derivada direcional no ponto
e na direção do vetor
das funções a seguir:
1.1
1.1
Passo 1
O enunciado pede o vetor gradiente de
no ponto
e a derivada direcional nesse ponto na direção do vetor
.
Conteúdo: cálculo de derivadas parciais para obter e uso do produto escalar com o vetor unitário da direção para achar a derivada direcional.
Conteúdo: cálculo de derivadas parciais para obter
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de
.
A derivada parcial em relação a é
A derivada parcial em relação a
e a derivada parcial em relação a
é
Passo 3
Avaliar essas derivadas em
.
Como ,
e
, temos
Como
Portanto,
Passo 4
Encontrar o vetor unitário na direção de
.
O módulo de é
O módulo de
Logo o vetor unitário é
Passo 5
Calcular a derivada direcional como o produto escalar de
com
:
Resposta
Gradiente em
:
Derivada direcional em
na direção de
: