Calcule f^{\prime}(p), pela definição.
f(x)=\sqrt{x^{2}+x} e p=1

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\sqrt{x^{2}+x} e o ponto p=1.
Pede-se calcular f^{\prime}(p) “pela definição”, ou seja, a derivada de f no ponto p=1 usando o quociente incremental e o limite.
Informações relevantes:
  • f(x)=\sqrt{x^{2}+x}.
  • p=1.
  • Usar a definição de derivada (limite do quociente incremental).

Passo 2

Lembrando a definição de derivada no ponto p: a derivada f^{\prime}(p) é o limite
f^{\prime}(p)=\lim_{h\to 0}\frac{f(p+h)-f(p)}{h}.
Aqui o enunciado exige usar “pela definição”, então vamos aplicar exatamente essa forma com p=1. Explicando rápido: esse quociente \dfrac{f(p+h)-f(p)}{h} mede a taxa média de variação de f entre p e p+h; ao fazer h\to0 obtemos a taxa instantânea, que é a derivada.

Passo 3

Calcular f(1) para usar no quociente:
f(1)=\sqrt{1^{2}+1}=\sqrt{2}.
Então o numerador do quociente conterá f(1+h)-\sqrt{2}.

Passo 4

Escrever o quociente incremental e substituir f:
\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{\sqrt{(1+h)^{2}+(1+h)}-\sqrt{2}}{h}.
Desenvolvendo o que está dentro da raiz:
(1+h)^{2}+(1+h)=1+2h+h^{2}+1+h=2+3h+h^{2}.
Portanto o quociente fica
\frac{\sqrt{2+3h+h^{2}}-\sqrt{2}}{h}.

Passo 5

Para calcular o limite quando h\to0 convém eliminar a diferença de raízes no numerador usando o truque do conjugado: multiplicar numerador e denominador pela soma das duas raízes. Assim,
\frac{\sqrt{2+3h+h^{2}}-\sqrt{2}}{h} = \frac{\bigl(\sqrt{2+3h+h^{2}}-\sqrt{2}\bigr)\bigl(\sqrt{2+3h+h^{2}}+\sqrt{2}\bigr)} {h\bigl(\sqrt{2+3h+h^{2}}+\sqrt{2}\bigr)}.
No numerador aplicamos a identidade (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}.

Passo 6

Calcular o numerador após usar a identidade:
\bigl(\sqrt{2+3h+h^{2}}\bigr)^{2}-\bigl(\sqrt{2}\bigr)^{2}=(2+3h+h^{2})-2=3h+h^{2}=h(3+h).
Então o quociente simplifica para
\frac{h(3+h)}{h\bigl(\sqrt{2+3h+h^{2}}+\sqrt{2}\bigr)}=\frac{3+h}{\sqrt{2+3h+h^{2}}+\sqrt{2}},
já que h\neq0 no quociente antes de tomar o limite, permitindo cancelar um fator h.

Passo 7

Agora tomamos o limite quando h\to0:
f^{\prime}(1)=\lim_{h\to0}\frac{3+h}{\sqrt{2+3h+h^{2}}+\sqrt{2}}.
Ao substituir h=0 nas expressões contínuas do numerador e denominador obtemos
f^{\prime}(1)=\frac{3+0}{\sqrt{2+0+0}+\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}=\frac{3}{2\sqrt{2}}.

Passo 8

Opcional: simplificar a forma racionalizando o denominador multiplicando numerador e denominador por \sqrt{2}:
\frac{3}{2\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2\cdot 2}=\frac{3\sqrt{2}}{4}.

Resposta

\dfrac{3\sqrt{2}}{4}

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