Calcule
, pela definição.
e
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
.
Pede-se calcular “pela definição”, ou seja, a derivada de
no ponto
usando o quociente incremental e o limite.
Pede-se calcular
Informações relevantes:
-
. -
. - Usar a definição de derivada (limite do quociente incremental).
Passo 2
Lembrando a definição de derivada no ponto
: a derivada
é o limite
Aqui o enunciado exige usar “pela definição”, então vamos aplicar exatamente essa forma com
. Explicando rápido: esse quociente
mede a taxa média de variação de
entre
e
; ao fazer
obtemos a taxa instantânea, que é a derivada.
Passo 3
Calcular
para usar no quociente:
Então o numerador do quociente conterá
.
Passo 4
Escrever o quociente incremental e substituir
:
Desenvolvendo o que está dentro da raiz:
Portanto o quociente fica
Passo 5
Para calcular o limite quando
convém eliminar a diferença de raízes no numerador usando o truque do conjugado: multiplicar numerador e denominador pela soma das duas raízes. Assim,
No numerador aplicamos a identidade
.
Passo 6
Calcular o numerador após usar a identidade:
Então o quociente simplifica para
já que
no quociente antes de tomar o limite, permitindo cancelar um fator
.
Passo 7
Agora tomamos o limite quando
:
Ao substituir
nas expressões contínuas do numerador e denominador obtemos
Passo 8
Opcional: simplificar a forma racionalizando o denominador multiplicando numerador e denominador por
: