Mostre que a função
satisfaz a equação do calor unidimensional (condução de calor numa barra)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para mostrar que ela satisfaz a equação do calor unidimensional. Ou seja, precisamos verificar a identidade (a equação do calor usada aqui)
Informações e convenções que vou assumir e usar sem perguntar:
é um inteiro positivo (modo),
e
é constante real; as variáveis são
(posição) e
(tempo). A estratégia é direta: calcular
e
e comparar.
Passo 2
Calcular
. Aqui a dependência em
está apenas no fator exponencial, então uso a regra da cadeia para derivar a exponencial. Lembrete da regra da cadeia para exponencial: se
então
.
Aplicando isso:
Derivando a exponencial pelo fator constante dentro do exponencial:
Portanto,
Passo 3
Calcular
. Primeiro calculo
. Aqui a dependência em
está na
com argumento
. Uso a regra da cadeia: se
então
.
Assim,
Agora derivo novamente em
. Derivada de
é
, e reaplico a constante
:
Portanto,
Para simplificar, nota-se que
, então podemos escrever
Passo 4
Multiplico
por
e comparo com
. Temos
Isto é exatamente
que coincide com o valor obtido para
no Passo 2. Logo
para todos os
onde a função está definida. Portanto
satisfaz a equação do calor unidimensional com difusividade
.
Passo 5
Comentário prático e encorajamento: o procedimento padrão para checar se uma função é solução de uma PDE é sempre o mesmo — calcular as derivadas parciais necessárias aplicando regra da cadeia e do produto, simplificar e comparar os dois lados da equação. Aqui deu certo porque a dependência em
está só na exponencial e a dependência em
só no seno, o que torna as derivadas simples e combináveis. Exemplo numérico rápido: se
,
e
, então
e as contas reduzem a
e
, de modo que
, confirmando o mesmo padrão.