Mostre que a função u(x, t)=\operatorname{sen} \frac{n \pi x}{L} \exp \left(-\frac{n^{2} \pi^{2} k^{2}}{L^{2}} t\right) satisfaz a equação do calor unidimensional (condução de calor numa barra)

Passo 1

O enunciado dá a função
u(x,t)=\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\exp\!\left(-\frac{n^{2}\pi^{2}k^{2}}{L^{2}}\,t\right)
e pede para mostrar que ela satisfaz a equação do calor unidimensional. Ou seja, precisamos verificar a identidade (a equação do calor usada aqui)
\partial_{t}u = k^{2}\,\partial_{x}^{2}u.
Informações e convenções que vou assumir e usar sem perguntar: n é um inteiro positivo (modo), L>0 e k é constante real; as variáveis são x (posição) e t (tempo). A estratégia é direta: calcular \partial_{t}u e \partial_{x}^{2}u e comparar.

Passo 2

Calcular \partial_{t}u. Aqui a dependência em t está apenas no fator exponencial, então uso a regra da cadeia para derivar a exponencial. Lembrete da regra da cadeia para exponencial: se f(t)=\mathrm{e}^{g(t)} então f'(t)=g'(t)\mathrm{e}^{g(t)}.
Aplicando isso:
\partial_{t}u(x,t) = \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\cdot \frac{d}{dt}\!\left[\exp\!\left(-\frac{n^{2}\pi^{2}k^{2}}{L^{2}}\,t\right)\right].
Derivando a exponencial pelo fator constante dentro do exponencial:
\frac{d}{dt}\!\left[\exp\!\left(-\frac{n^{2}\pi^{2}k^{2}}{L^{2}}\,t\right)\right] = -\frac{n^{2}\pi^{2}k^{2}}{L^{2}} \exp\!\left(-\frac{n^{2}\pi^{2}k^{2}}{L^{2}}\,t\right).
Portanto,
\partial_{t}u(x,t) = -\frac{n^{2}\pi^{2}k^{2}}{L^{2}} \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \exp\!\left(-\frac{n^{2}\pi^{2}k^{2}}{L^{2}}\,t\right).

Passo 3

Calcular \partial_{x}^{2}u. Primeiro calculo \partial_{x}u. Aqui a dependência em x está na \sin com argumento \frac{n\pi x}{L}. Uso a regra da cadeia: se h(x)=\sin(\alpha x) então h'(x)=\alpha\cos(\alpha x).
Assim,
\partial_{x}u(x,t) = \left(\frac{n\pi}{L}\right) \cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \exp\!\left(-\frac{n^{2}\pi^{2}k^{2}}{L^{2}}\,t\right).
Agora derivo novamente em x. Derivada de \cos é -\sin, e reaplico a constante \frac{n\pi}{L}:
\partial_{x}^{2}u(x,t) = \left(\frac{n\pi}{L}\right) \cdot\frac{d}{dx}\!\left[\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right] \exp\!\left(-\frac{n^{2}\pi^{2}k^{2}}{L^{2}}\,t\right).
\frac{d}{dx}\!\left[\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right] = -\frac{n\pi}{L}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right).
Portanto,
\partial_{x}^{2}u(x,t) = -\left(\frac{n\pi}{L}\right)^{2} \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \exp\!\left(-\frac{n^{2}\pi^{2}k^{2}}{L^{2}}\,t\right).
Para simplificar, nota-se que \left(\dfrac{n\pi}{L}\right)^{2}=\dfrac{n^{2}\pi^{2}}{L^{2}}, então podemos escrever
\partial_{x}^{2}u(x,t) = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{L^{2}} \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \exp\!\left(-\frac{n^{2}\pi^{2}k^{2}}{L^{2}}\,t\right).

Passo 4

Multiplico \partial_{x}^{2}u por k^{2} e comparo com \partial_{t}u. Temos
k^{2}\,\partial_{x}^{2}u(x,t) = k^{2}\left(-\frac{n^{2}\pi^{2}}{L^{2}}\right) \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \exp\!\left(-\frac{n^{2}\pi^{2}k^{2}}{L^{2}}\,t\right).
Isto é exatamente
k^{2}\,\partial_{x}^{2}u(x,t) = -\frac{n^{2}\pi^{2}k^{2}}{L^{2}} \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \exp\!\left(-\frac{n^{2}\pi^{2}k^{2}}{L^{2}}\,t\right),
que coincide com o valor obtido para \partial_{t}u(x,t) no Passo 2. Logo
\partial_{t}u(x,t)=k^{2}\,\partial_{x}^{2}u(x,t)
para todos os x,t onde a função está definida. Portanto u satisfaz a equação do calor unidimensional com difusividade k^{2}.

Passo 5

Comentário prático e encorajamento: o procedimento padrão para checar se uma função é solução de uma PDE é sempre o mesmo — calcular as derivadas parciais necessárias aplicando regra da cadeia e do produto, simplificar e comparar os dois lados da equação. Aqui deu certo porque a dependência em t está só na exponencial e a dependência em x só no seno, o que torna as derivadas simples e combináveis. Exemplo numérico rápido: se n=1, L=\pi e k=1, então u(x,t)=\sin x\,e^{-t} e as contas reduzem a \partial_{t}u=-\sin x\,e^{-t} e \partial_{x}^{2}u=-\sin x\,e^{-t}, de modo que \partial_{t}u=\partial_{x}^{2}u, confirmando o mesmo padrão.

Resposta

\partial_{t}u = k^{2}\,\partial_{x}^{2}u

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