Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- Função:
. - Ponto onde queremos a tangente:
. - Para escrever a equação da reta tangente precisamos de dois elementos: o coeficiente angular (a inclinação, isto é, a derivada de
no ponto) e um ponto por onde a reta passa (já dado).
Passo 2
O que significa “coeficiente angular da reta tangente”?
- A reta tangente a um gráfico em um ponto tem inclinação igual à derivada da função naquele ponto.
- A derivada de
em um ponto é, por definição, o limite
Aqui
é um pequeno incremento em
. Se esse limite existir, ele dá a taxa de variação instantânea de
em
, que é precisamente a inclinação da reta tangente.
Passo 3
Vamos aplicar a definição ao caso
. Usamos a fórmula trigonométrica
Então
Agora tomamos o limite quando
. Usamos dois limites padrão (resultados fundamentais de trigonometria-limites):
Aplicando esses limites na expressão acima obtemos
Portanto a derivada de
é
Passo 4
Agora calculamos a inclinação da tangente no ponto
. Substituímos na derivada:
Sabemos que
. Logo
Passo 5
Com a inclinação
e o ponto
, usamos a forma ponto-inclinação da reta:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos isolar
para obter a forma explícita
. Desenvolvendo:
Fatorando
no termo independente:
Como checagem rápida, se substituirmos
obtemos
, portanto a reta realmente passa pelo ponto dado.