Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x)=\operatorname{sen} x no ponto (\pi / 4, \sqrt{2} / 2).

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=\operatorname{sen} x no ponto \left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right).
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • Função: f(x)=\operatorname{sen} x.
  • Ponto onde queremos a tangente: \left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right).
  • Para escrever a equação da reta tangente precisamos de dois elementos: o coeficiente angular (a inclinação, isto é, a derivada de f no ponto) e um ponto por onde a reta passa (já dado).

Passo 2

O que significa “coeficiente angular da reta tangente”?
  • A reta tangente a um gráfico em um ponto tem inclinação igual à derivada da função naquele ponto.
  • A derivada de f em um ponto x é, por definição, o limite
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui h é um pequeno incremento em x. Se esse limite existir, ele dá a taxa de variação instantânea de f em x, que é precisamente a inclinação da reta tangente.

Passo 3

Vamos aplicar a definição ao caso f(x)=\operatorname{sen} x. Usamos a fórmula trigonométrica
\operatorname{sen}(x+h)=\operatorname{sen}x\cos h+\cos x\operatorname{sen}h.
Então
\frac{\operatorname{sen}(x+h)-\operatorname{sen}x}{h}=\frac{\operatorname{sen}x(\cos h-1)}{h}+\frac{\cos x\operatorname{sen}h}{h}.
Agora tomamos o limite quando h\to0. Usamos dois limites padrão (resultados fundamentais de trigonometria-limites):
\lim_{h\to0}\frac{\operatorname{sen}h}{h}=1\quad\text{e}\quad\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0.
Aplicando esses limites na expressão acima obtemos
f'(x)=\operatorname{cos}x\cdot 1 + \operatorname{sen}x\cdot 0=\operatorname{cos}x.
Portanto a derivada de f(x)=\operatorname{sen}x é
f'(x)=\operatorname{cos}x.

Passo 4

Agora calculamos a inclinação da tangente no ponto x_0=\dfrac{\pi}{4}. Substituímos na derivada:
m=f'\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\operatorname{cos}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right).
Sabemos que \operatorname{cos}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Logo
m=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 5

Com a inclinação m e o ponto \left(x_0,y_0\right)=\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right), usamos a forma ponto-inclinação da reta:
y-y_0=m(x-x_0).
Substituindo os valores:
y-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right).

Passo 6

Vamos isolar y para obter a forma explícita y=mx+b. Desenvolvendo:
y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}x+\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\pi}{4}.
Fatorando \dfrac{\sqrt{2}}{2} no termo independente:
y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}x+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(1-\dfrac{\pi}{4}\right).
Como checagem rápida, se substituirmos x=\dfrac{\pi}{4} obtemos y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, portanto a reta realmente passa pelo ponto dado.

Resposta

y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}x+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(1-\dfrac{\pi}{4}\right)

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