Calcule a f^{\prime}(a) para as seguintes funções f e os seguintes valores a :
g(x)=\frac{\cos x}{x}, a=\frac{\pi}{2}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(x)=\frac{\cos x}{x}
no ponto a=\frac{\pi}{2}.
Este é um problema de cálculo diferencial em que vamos usar a regra do quociente, além de sabermos que \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x e \frac{d}{dx}(x)=1.

Passo 2

Para aplicar a regra do quociente, definimos
u(x)=\cos x, \quad v(x)=x.
A regra diz que
g'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2}.
Como u'(x)=-\sin x e v'(x)=1, temos
g'(x) =\frac{-\sin x\cdot x - \cos x\cdot1}{x^2} =\frac{-x\sin x - \cos x}{x^2}.

Passo 3

Agora avaliamos em x=a=\frac{\pi}{2}. Primeiro note que
\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1, \quad \cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0.
Substituindo em \displaystyle g'(x)=\frac{-x\sin x - \cos x}{x^2}, obtemos
g'\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) =\frac{-\tfrac{\pi}{2}\cdot1 - 0}{\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)^2} =\frac{-\tfrac{\pi}{2}}{\tfrac{\pi^2}{4}}.

Passo 4

Simplificando a fração:
\frac{-\tfrac{\pi}{2}}{\tfrac{\pi^2}{4}} =-\frac{\pi}{2}\cdot\frac{4}{\pi^2} =-\frac{2}{\pi}.

Resposta

g'\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-\frac{2}{\pi}.

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