Ache \frac{d y}{d x} por derivação implícita:
\operatorname{sec} ^{2}+\operatorname{cossec}^{2} y=4

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
\operatorname{sec}^2 x + \csc^2 y = 4
e pede \tfrac{dy}{dx}. O conteúdo principal é derivação implícita, usando a regra da cadeia e as derivadas \tfrac{d}{dx}[\operatorname{sec} x]=\operatorname{sec} x\tan x e \tfrac{d}{dx}[\csc y]=-\csc y\cot y\cdot y'.

Passo 2

Derivamos \operatorname{sec}^2 x em relação a x. Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}[\operatorname{sec}^2 x] =2\,\operatorname{sec} x\cdot\frac{d}{dx}[\operatorname{sec} x] =2\,\operatorname{sec} x\cdot(\operatorname{sec} x\tan x) =2\,\operatorname{sec}^2 x\tan x.

Passo 3

Derivamos \csc^2 y em relação a x. Aqui y=y(x), então
\frac{d}{dx}[\csc^2 y] =2\,\csc y\cdot\frac{d}{dx}[\csc y] =2\,\csc y\cdot\bigl(-\csc y\cot y\cdot y'\bigr) =-2\,\csc^2 y\cot y\;y'.

Passo 4

Somando as derivadas e igualando a zero (pois a derivada de 4 é zero),
2\,\operatorname{sec}^2 x\tan x \;+\;\bigl(-2\,\csc^2 y\cot y\,y'\bigr) =0.
Isolando y',
2\,\operatorname{sec}^2 x\tan x =2\,\csc^2 y\cot y\;y' \quad\Longrightarrow\quad y' =\frac{2\,\operatorname{sec}^2 x\tan x}{2\,\csc^2 y\cot y} =\frac{\operatorname{sec}^2 x\tan x}{\csc^2 y\cot y}.

Resposta

\frac{dy}{dx} =\frac{\operatorname{sec}^2 x\,\tan x}{\csc^2 y\,\cot y}.

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