A tarefa é achar a derivada f'(x) em cada região e depois ver o que rola em x=1, ou seja, calcular f'(1).
Matéria envolvida: regra de derivadas básicas (polinômio e função linear) e conceito de derivada num ponto (continuidade e diferença‐quociente).
Passo 2
Primeiro, para x>1 (interior do ramo x^2), usamos a regra
ddxx^2 = 2x
Logo, em x>1:
f'(x)=2x
Para x<1 (ramo 2x), a derivada de 2x é constante 2, pois
ddx(2x)=2
Logo, em x<1:
f'(x)=2
Passo 3
Agora o ponto x=1. Antes de usar limite, a gente lembra que derivada só existe se a função for contínua ali. Vamos checar:
Limite pela esquerda: limxto1^-f(x)=limxto1^-2x=2.
Valor em 1: f(1)=1^2=1.
Limite pela direita: limxto1^+f(x)=limxto1^+x^2=1.
Como limxto1^-f(x)=2neq f(1)=1, a função é descontínua em x=1. E derivada exige continuidade.
Portanto, a derivada em x=1 não existe.