Calcule

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem uma função em pedaços (piecewise)
f(x)=
x^2+1, & x>=1, 2x, & x<1
Conteúdo: derivadas de funções simples e no ponto de troca (x=1) checar se dá pra derivar.
O que vamos usar:
  • Regra básica: ddxx^n = n,x^n-1.
  • Derivada de constante é 0.
  • Derivada de 2x é 2.
  • Pra x=1, ver as derivadas laterais (direita e esquerda) e comparar.

Passo 2

Derivando para x>1 (parte x^2+1):
  • ddx(x^2+1) = 2x + 0 = 2x.
    Então, para x>1:
f'(x) = 2x

Passo 3

Derivando para x<1 (parte 2x):
  • ddx(2x) = 2.
    Logo, para x<1:
f'(x) = 2

Passo 4

Checando em x=1:
  • Derivada pela direita (x→1^+): usa a fórmula de x>1 → f'+(1)=2cdot1=2.
  • Derivada pela esquerda (x→1^-): usa a fórmula de x<1 → f'-(1)=2.
    Como f'+(1)=f'-(1)=2, a derivada em x=1 existe e vale 2.

Resposta

f'(x)= 2x, & x>1, 2, & x<1, e f'(1)=2

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