Calcule f^{\prime}(x) para f(x)=x^{2} \cdot \ln x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=x^{2}\cdot\ln x,
que é o produto de duas funções elementares. O conteúdo principal é a regra do produto e a derivada de \ln x. Vamos precisar de:
  1. Derivar u(x)=x^{2}.
  2. Derivar v(x)=\ln x.
  3. Aplicar a regra do produto: \bigl(u\cdot v\bigr)'=u'\,v+u\,v'.

Passo 2

Definimos
u(x)=x^{2},\quad v(x)=\ln x.
Então suas derivadas são
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x,
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\ln x\bigr)=\frac{1}{x}.

Passo 3

Usando a regra do produto,
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u, u', v e v', temos
f'(x)=\bigl(2x\bigr)\,\ln x + \bigl(x^{2}\bigr)\,\frac{1}{x}.

Passo 4

Agora simplificamos o segundo termo:
x^{2}\cdot\frac{1}{x}=x.
Logo,
f'(x)=2x\,\ln x + x.

Passo 5

Para deixar em forma fatorada, colocamos x em evidência:
f'(x)=x\bigl(2\ln x + 1\bigr).

Resposta

f'(x)=x\bigl(2\ln x + 1\bigr).

Exercícios relacionados