A concentração de um medicamento no sangue (em \mathrm{mg} / \mathrm{L} ) é dada por C(t)= 10 t e^{-0,5 t}, onde t é o tempo em horas após a administração. Calcule a taxa de variação da concentração no tempo t=2 horas.

Passo 1

O enunciado dá a concentração de um medicamento no sangue como
C(t) = 10\,t\,e^{-0,5\,t},
onde t é o tempo em horas. Pede-se a taxa de variação da concentração em t=2 horas, ou seja, C'(2). Para isso vamos usar a regra do produto e a derivada de uma exponencial.

Passo 2

Aplicando a regra do produto em
C(t) = 10 \bigl(t\cdot e^{-0,5t}\bigr)
temos
C'(t) = 10\frac{d}{dt}\bigl(t\,e^{-0,5t}\bigr) = 10\Bigl(1\cdot e^{-0,5t} + t\cdot(-0,5)\,e^{-0,5t}\Bigr) = 10\,e^{-0,5t}\bigl(1 - 0,5\,t\bigr).

Passo 3

Agora avaliamos em t=2:
C'(2) = 10\,e^{-0,5\cdot2}\bigl(1 - 0,5\cdot2\bigr) = 10\,e^{-1}\bigl(1 - 1\bigr) = 10\,e^{-1}\cdot 0 = 0.

Resposta

A taxa de variação da concentração em t=2 horas é igual a 0, \mathrm{mg/L \cdot h}.

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