Calcule
:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
definida por
Informações importantes dadas (e implicadas):
- A função é o produto de duas funções:
e . - Para que
exista precisamos de . - Para que
exista precisamos de . - Portanto o domínio implícito onde a expressão faz sentido é
.
O que o problema pede: encontrar, isto é, a derivada de em termos de .
Passo 2
Vamos lembrar uma fórmula que vamos usar (a explicação está logo em seguida): a regra do produto.
Se tivermos duas funções e
, a derivada do produto
é
Se tivermos duas funções
O que cada símbolo significa:
-
e são as duas funções que estamos multiplicando. -
é a derivada de em relação a . -
é a derivada de em relação a .
Intuição rápida: a regra do produto diz que a taxa de variação do produto vem da soma das taxas parciais: variação demantendo + variação de mantendo .
Passo 3
Identificamos as duas funções do produto:
Agora calculamos
.
Derivando termo a termo:
Derivando termo a termo:
- A derivada de
é (regra potência: se então derivada é ). - A derivada de
é (é uma derivada padrão: para ).
Portanto
Passo 4
Agora precisamos de
com
.
Lembre que é a mesma coisa que
. Ou seja
Lembre que
Derivamos
. Usando a regra da derivada de
(ou a regra do quociente) temos:
Agora reescrevemos esse resultado em termos das funções trigonométricas usuais
e
. Lembre que
e
. Assim
Portanto
Passo 5
Aplicamos a regra do produto
. Substituindo
que já calculamos:
Organizando (fatorando
, que aparece em ambos os termos) obtemos uma forma mais compacta:
Passo 6
Opcional: podemos combinar os termos
em uma única fração para outra forma equivalente. Colocando sobre o mesmo denominador
:
Assim outra escrita útil é
Ambas as formas são corretas; escolha a que achar mais clara na prova.