Calcule f^{\prime}(x) :
f(x)=\left(x^{3}+\ln x\right) \operatorname{cossec} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função f definida por
f(x)=\left(x^{3}+\ln x\right)\operatorname{cossec} x.
Informações importantes dadas (e implicadas):
  • A função é o produto de duas funções: x^{3}+\ln x e \operatorname{cossec} x.
  • Para que \ln x exista precisamos de x>0.
  • Para que \operatorname{cossec} x exista precisamos de \sin x\neq 0.
  • Portanto o domínio implícito onde a expressão faz sentido é x\in(0,\infty)\setminus\{k\pi:\,k\in\mathbb{N}\}.
    O que o problema pede: encontrar f^{\prime}(x), isto é, a derivada de f em termos de x.

Passo 2

Vamos lembrar uma fórmula que vamos usar (a explicação está logo em seguida): a regra do produto.
Se tivermos duas funções u(x) e v(x), a derivada do produto u(x)v(x) é
\big(u\cdot v\big)' = u'\,v + u\,v'.
O que cada símbolo significa:
  • u(x) e v(x) são as duas funções que estamos multiplicando.
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x.
  • v'(x) é a derivada de v em relação a x.
    Intuição rápida: a regra do produto diz que a taxa de variação do produto vem da soma das taxas parciais: variação de u mantendo v + variação de v mantendo u.

Passo 3

Identificamos as duas funções do produto:
u(x)=x^{3}+\ln x,\qquad v(x)=\operatorname{cossec} x.
Agora calculamos u'(x).
Derivando termo a termo:
  • A derivada de x^{3} é 3x^{2} (regra potência: se x^{n} então derivada é n x^{n-1}).
  • A derivada de \ln x é \dfrac{1}{x} (é uma derivada padrão: \dfrac{d}{dx}\ln x=1/x para x>0).
    Portanto
u'(x)=3x^{2}+\frac{1}{x}.

Passo 4

Agora precisamos de v'(x) com v(x)=\operatorname{cossec} x.
Lembre que \operatorname{cossec} x é a mesma coisa que 1/\sin x. Ou seja
\operatorname{cossec} x=\frac{1}{\sin x}.
Derivamos v(x)=\dfrac{1}{\sin x}. Usando a regra da derivada de 1/g(x) (ou a regra do quociente) temos:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\sin x}\right) = -\frac{\cos x}{\sin^{2} x}.
Agora reescrevemos esse resultado em termos das funções trigonométricas usuais \operatorname{cossec} e \cot. Lembre que \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x} e \operatorname{cossec} x=\dfrac{1}{\sin x}. Assim
-\frac{\cos x}{\sin^{2} x} = -\left(\frac{1}{\sin x}\right)\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right) = -\operatorname{cossec} x\cdot \cot x.
Portanto
v'(x) = -\operatorname{cossec} x\;\cot x.

Passo 5

Aplicamos a regra do produto f'=u'v+u v'. Substituindo u,u',v,v' que já calculamos:
f'(x)=\left(3x^{2}+\frac{1}{x}\right)\operatorname{cossec} x + \left(x^{3}+\ln x\right)\big(-\operatorname{cossec} x\;\cot x\big).
Organizando (fatorando \operatorname{cossec} x, que aparece em ambos os termos) obtemos uma forma mais compacta:
f'(x)=\operatorname{cossec} x\left(3x^{2}+\frac{1}{x} - (x^{3}+\ln x)\cot x\right).

Passo 6

Opcional: podemos combinar os termos 3x^{2}+\dfrac{1}{x} em uma única fração para outra forma equivalente. Colocando sobre o mesmo denominador x:
3x^{2}+\frac{1}{x} = \frac{3x^{3}+1}{x}.
Assim outra escrita útil é
f'(x)=\operatorname{cossec} x\left(\frac{3x^{3}+1}{x} - (x^{3}+\ln x)\cot x\right).
Ambas as formas são corretas; escolha a que achar mais clara na prova.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\operatorname{cossec} x\!\left(3x^{2}+\frac{1}{x}-(x^{3}+\ln x)\cot x\right)

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