Encontre a transformada de Laplace inversa da função dada.
Passo 1
O enunciado dá a função em
e pede que eu encontre a transformada inversa no tempo, ou seja, a função
tal que a transformada de
é
.
Informações relevantes do enunciado que vamos usar: há um fator multiplicando uma função racional em
e o denominador tem raízes em
e
.
Informações relevantes do enunciado que vamos usar: há um fator
Passo 2
Primeira ideia (intuição que vamos transformar em conta): quando uma função em
Aqui
é a parte sem o atraso. A propriedade que vou usar (a chamada propriedade de deslocamento no tempo) é: se
então
onde
é a função degrau de Heaviside (também chamada de função indicadora), definida por
Explicando em palavras: multiplicar por
atrasa a função no tempo em
unidades e a “liga” só a partir de
. Vou então calcular
e depois aplicar o deslocamento
multiplicado por
.]
Passo 3
Calcular
com
. Primeiro faço a decomposição em frações parciais da função racional:
Procuro constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Agora determino
e
escolhendo valores convenientes de
. Para
:
Para
:
Logo
Passo 4
Agora uso pares transformada
: a transformada de
é
(para
com parte real suficientemente grande). Assim a transformada inversa de
é
e a de
é
. Aplicando linearidade:
Repare que essa combinação é justamente uma função hiperbólica conhecida:
. Em particular
Portanto
Passo 5
Agora aplico o deslocamento no tempo devido ao fator
. Pela propriedade citada,
Substituindo
obtemos
Isso significa que
para
e para
a função vale
. Se você quiser também escrever usando exponenciais:
Passo 6
Verificação rápida e intuição final: sem o fator
teríamos
. O
apenas atrasa a função em 2 unidades no tempo e a anula antes de
. Isso bate com a fórmula final encontrada e com o comportamento das partes reais dos polos
.