Encontre a transformada de Laplace inversa da função dada.
F(s)=\frac{2 e^{-2 s}}{s^{2}-4}

Passo 1

O enunciado dá a função em s
F(s)=\frac{2 e^{-2 s}}{s^{2}-4}
e pede que eu encontre a transformada inversa no tempo, ou seja, a função f(t) tal que a transformada de f(t) é F(s).
Informações relevantes do enunciado que vamos usar: há um fator e^{-2s} multiplicando uma função racional em s e o denominador tem raízes em s=2 e s=-2.

Passo 2

Primeira ideia (intuição que vamos transformar em conta): quando uma função em s\) vem multiplicada por \(e^{-a s}\) isso corresponde a um atraso no tempo da função original (aparece um degrau deslocado). Vou separar o fator exponencial e inverter a parte racional primeiro. Escrevo \[F(s)=e^{-2s}\,G(s)\qquad\text{com}\qquad G(s)=\frac{2}{s^{2}-4}.
Aqui G(s) é a parte sem o atraso. A propriedade que vou usar (a chamada propriedade de deslocamento no tempo) é: se \mathcal{L}\{g(t)\}=G(s) então
\mathcal{L}^{-1}\{e^{-a s}G(s)\}=u(t-a)\,g(t-a),
onde u(t-a) é a função degrau de Heaviside (também chamada de função indicadora), definida por
u(t-a)=\begin{cases}0,& t<a,\\[4pt]1,& t\ge a.\end{cases}
Explicando em palavras: multiplicar por e^{-a s}\] em \(s atrasa a função no tempo em a unidades e a “liga” só a partir de t=a. Vou então calcular g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\} e depois aplicar o deslocamento t\mapsto t-2 multiplicado por u(t-2).]

Passo 3

Calcular g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\} com G(s)=\dfrac{2}{s^{2}-4}. Primeiro faço a decomposição em frações parciais da função racional:
\frac{2}{s^{2}-4}=\frac{2}{(s-2)(s+2)}.
Procuro constantes A e B tais que
\frac{2}{(s-2)(s+2)}=\frac{A}{s-2}+\frac{B}{s+2}.
Multiplicando ambos os lados por (s-2)(s+2) obtemos
2 = A(s+2)+B(s-2).
Agora determino A e B escolhendo valores convenientes de s. Para s=2:
2 = A(2+2) + B(0) \Longrightarrow 2 = 4A \Longrightarrow A=\tfrac{1}{2}.
Para s=-2:
2 = A(0) + B(-2-2) \Longrightarrow 2 = -4B \Longrightarrow B=-\tfrac{1}{2}.
Logo
\frac{2}{s^{2}-4}=\frac{1/2}{s-2}-\frac{1/2}{s+2}.

Passo 4

Agora uso pares transformada \longleftrightarrow s: a transformada de \mathrm{e}^{at} é \dfrac{1}{s-a} (para s com parte real suficientemente grande). Assim a transformada inversa de \dfrac{1}{s-2} é e^{2t} e a de \dfrac{1}{s+2} é e^{-2t}. Aplicando linearidade:
g(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1/2}{s-2}-\frac{1/2}{s+2}\right\}=\tfrac{1}{2}e^{2t}-\tfrac{1}{2}e^{-2t}.
Repare que essa combinação é justamente uma função hiperbólica conhecida: \operatorname{sinh}. Em particular
\tfrac{1}{2}e^{2t}-\tfrac{1}{2}e^{-2t}=\operatorname{sinh}(2t).
Portanto
g(t)=\operatorname{sinh}(2t).

Passo 5

Agora aplico o deslocamento no tempo devido ao fator e^{-2s}. Pela propriedade citada,
\mathcal{L}^{-1}\{e^{-2s}G(s)\}=u(t-2)\,g(t-2).
Substituindo g(t)=\operatorname{sinh}(2t) obtemos
f(t)=u(t-2)\,\operatorname{sinh}\bigl(2(t-2)\bigr).
Isso significa que f(t)=0 para t<2 e para t\ge 2 a função vale \operatorname{sinh}(2(t-2)). Se você quiser também escrever usando exponenciais:
f(t)=u(t-2)\,\frac{e^{2(t-2)}-e^{-2(t-2)}}{2}.

Passo 6

Verificação rápida e intuição final: sem o fator e^{-2s} teríamos \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{2}{s^{2}-4}\}=\operatorname{sinh}(2t). O e^{-2s} apenas atrasa a função em 2 unidades no tempo e a anula antes de t=2. Isso bate com a fórmula final encontrada e com o comportamento das partes reais dos polos s=\pm2.

Resposta

f(t)=u(t-2)\,\operatorname{sinh}\bigl(2(t-2)\bigr)

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