Encontre a transformada de Laplace da função dada.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a transformada de Laplace da função
Informações dadas:
e para
.
e
A tarefa é encontrar
, a transformada de Laplace de
, e indicar a região de convergência se necessário.
Passo 2
Definição da transformada de Laplace (aula rápida): para uma função
definida para
, a transformada de Laplace é
sempre que essa integral convergir (normalmente pedimos
para funções polinomiais exponenciais). Aplicando diretamente essa definição a
, como
em
, a integral reduz-se a
Esse é o ponto de partida — transformar essa integral em algo que possamos calcular.
Passo 3
Mudança de variável para simplificar (truque padrão quando a função começa em
):
faça . Então
, quando
temos
, e quando
temos
. Substituindo na integral:
faça
Agora simplificamos o polinômio dentro da integral: calculemos
:
Portanto
Passo 4
Fatoramos o termo
como
(observe que
não depende de
e sai da integral):
Isso mostra a forma do teorema do deslocamento: quando uma função começa em
pode aparecer um fator
multiplicando a transformada da parte em
. Agora precisamos calcular duas integrais básicas:
Passo 5
Cálculo de
(fácil): para
,
Cálculo de
(usando integração por partes duas vezes ou a fórmula
):
vamos demonstrar por partes para fixar bem o método. Denote
vamos demonstrar por partes para fixar bem o método. Denote
Primeira integração por partes: tome
,
. Então
e
. Assim
O termo de fronteira vale
(para
), sobrando
Agora calcule
por partes: ponha
,
. Então
,
, logo
Substituindo em
:
Isto coincide com a fórmula geral
.
Passo 6
Voltando à transformada:
Podemos também escrever em forma única colocando no mesmo denominador:
A condição de convergência é
(necessária para as integrais que calculamos).