Calcule f^{\prime}(x) :
f(x)=\left(e^{x}+x\right)^{-2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de uma função f. A função dada é
f(x)=\left(e^{x}+x\right)^{-2}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é a potência -2 de uma soma e^{x}+x.
  • Não há outras condições (domínio explícito etc.).

Passo 2

Qual é a ação a tomar (sem resolver ainda): precisamos diferenciar uma composição de funções (uma potência aplicada à função e^{x}+x). Para isso vamos usar regras básicas de derivação: a regra da potência combinada com a regra da cadeia. Vou explicar essas regras antes de aplicar.

Passo 3

Definição auxiliar (substituição que facilita a escrita): defina
u(x)=e^{x}+x,
de modo que
f(x)=u(x)^{-2}.
Isso não altera a função, só deixa as contas mais claras.

Passo 4

Relembrando as regras que vamos usar (com explicação didática):
  • Regra da potência (para função composta): se g(u)=u^{n} com n constante, então a derivada em relação a u é
g'(u)=n\,u^{n-1}.
Aqui u é a variável da função g (no nosso caso u=u(x)) e n=-2.
  • Regra da cadeia: se f(x)=g(u(x)), então
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Isto é: derivar primeiro a função externa g em relação a u, avaliar em u(x), e multiplicar pela derivada da função interna u(x).
  • Derivadas elementares que serão usadas:
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x},\qquad \frac{d}{dx}x=1.

Passo 5

Calcular a derivada da função interna u(x)=e^{x}+x:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}+x\bigr)=\frac{d}{dx}e^{x}+\frac{d}{dx}x=e^{x}+1.

Passo 6

Aplicar a regra da potência e a regra da cadeia à função f(x)=u(x)^{-2}.
Pela regra da potência,
\frac{d}{du}\bigl(u^{-2}\bigr)=-2\,u^{-3}.
Pela regra da cadeia,
f'(x)=\frac{d}{du}\bigl(u^{-2}\bigr)\Big|_{u=u(x)}\cdot u'(x)=-2\,u(x)^{-3}\cdot u'(x).

Passo 7

Substituir u(x)=e^{x}+x e u'(x)=e^{x}+1 na expressão do passo anterior:
f'(x)=-2\bigl(e^{x}+x\bigr)^{-3}\cdot\bigl(e^{x}+1\bigr).
Podemos reescrever de forma mais usual como uma única fração:
f'(x)=-2\,\frac{e^{x}+1}{\bigl(e^{x}+x\bigr)^{3}}.

Resposta

-2\,\dfrac{e^{x}+1}{\bigl(e^{x}+x\bigr)^{3}}

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