O enunciado pede para calcular a derivada de uma função f. A função dada é
f(x)=\left(e^{x}+x\right)^{-2}.
Informações relevantes fornecidas:
A função é a potência -2 de uma soma e^{x}+x.
Não há outras condições (domínio explícito etc.).
Passo 2
Qual é a ação a tomar (sem resolver ainda): precisamos diferenciar uma composição de funções (uma potência aplicada à função e^{x}+x). Para isso vamos usar regras básicas de derivação: a regra da potência combinada com a regra da cadeia. Vou explicar essas regras antes de aplicar.
Passo 3
Definição auxiliar (substituição que facilita a escrita): defina
u(x)=e^{x}+x,
de modo que
f(x)=u(x)^{-2}.
Isso não altera a função, só deixa as contas mais claras.
Passo 4
Relembrando as regras que vamos usar (com explicação didática):
Regra da potência (para função composta): se g(u)=u^{n} com n constante, então a derivada em relação a u é
g'(u)=n\,u^{n-1}.
Aqui u é a variável da função g (no nosso caso u=u(x)) e n=-2.
Regra da cadeia: se f(x)=g(u(x)), então
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Isto é: derivar primeiro a função externa g em relação a u, avaliar em u(x), e multiplicar pela derivada da função interna u(x).
Derivadas elementares que serão usadas:
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x},\qquad \frac{d}{dx}x=1.
Passo 5
Calcular a derivada da função interna u(x)=e^{x}+x: