Calcule f^{\prime}(x) :
3. f(x)=\sin \left(e^{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada f'(x) da função
f(x)=\sin\!\bigl(e^{x}\bigr).
Informações dadas:
  • A função f é uma composição de duas funções: uma exponencial e uma função seno.
  • A única pergunta é obter a expressão de f'(x).

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado de forma simples): quando uma função é composta, isto é, quando f(x)=g(h(x)), a derivada de f é dada pela regra chamada “regra da cadeia”:
\text{se } f(x)=g(h(x)) \text{ então } f'(x)=g'\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x).ã
Aqui:
  • g é a função exterior (aquela que age sobre o resultado de h);
  • h é a função interior (aquela que depende de x);
  • g'\bigl(h(x)\bigr) significa: calcule a derivada de g em relação ao seu argumento e depois substitua esse argumento por h(x);
  • h'(x) é a derivada de h em relação a x.
Intuição rápida e amigável: pense em x passando por uma máquina h que produz u=h(x), e depois esse u entra em outra máquina g. A velocidade com que g(h(x)) muda quando x varia é a velocidade com que g muda em função de u multiplicada pela velocidade com que u muda em função de x.

Passo 3

Identificar as funções interior e exterior no nosso caso:
  • Função interior: u(x)=e^{x}.
  • Função exterior: g(u)=\sin(u).
    Logo
f(x)=g\bigl(u(x)\bigr)=\sin\!\bigl(e^{x}\bigr).

Passo 4

Derivada da função interior u(x)=e^{x}.
Fato importante (uma fórmula que convém decorar): a derivada da exponencial natural é ela mesma:
u'(x)=\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Explicação curta: a função e^{x} tem a propriedade especial de que a taxa de variação em cada ponto é igual ao seu valor naquele ponto. Pode confiar nisso para a prova — é uma das derivadas básicas que sempre aparecem.

Passo 5

Derivada da função exterior g(u)=\sin(u) em relação a u.
Fato básico: a derivada do seno é o cosseno:
g'(u)=\frac{d}{du}\sin(u)=\cos(u).
Isso significa que, ao aplicar a regra da cadeia, vamos substituir u por u(x)=e^{x} dentro de \cos(u).

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia:
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x)=\cos\bigl(u(x)\bigr)\cdot e^{x}.
Substituindo u(x)=e^{x} obtemos a forma final:
f'(x)=e^{x}\cos\!\bigl(e^{x}\bigr).
Observação prática: é comum escrever também f'(x)=\cos\!\bigl(e^{x}\bigr)\,e^{x}. Ambas são equivalentes (produto comutativo).

Passo 7

Exemplo rápido para fixar (opcional, apenas para ver em números): em x=0,
f'(0)=e^{0}\cos\!\bigl(e^{0}\bigr)=1\cdot\cos(1)=\cos(1)\approx0,5403.
Viu como fica concreto? Isso é útil para checar se a forma faz sentido.

Resposta

f'(x)=e^{x}\cos\!\bigl(e^{x}\bigr)

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