Calcule
:
3.
3.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada
da função
Informações dadas:
- A função
é uma composição de duas funções: uma exponencial e uma função seno. - A única pergunta é obter a expressão de
.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado de forma simples): quando uma função é composta, isto é, quando
, a derivada de
é dada pela regra chamada “regra da cadeia”:
Aqui:
-
é a função exterior (aquela que age sobre o resultado de ); -
é a função interior (aquela que depende de ); -
significa: calcule a derivada de em relação ao seu argumento e depois substitua esse argumento por ; -
é a derivada de em relação a .
Intuição rápida e amigável: pense em
passando por uma máquina
que produz
, e depois esse
entra em outra máquina
. A velocidade com que
muda quando
varia é a velocidade com que
muda em função de
multiplicada pela velocidade com que
muda em função de
.
Passo 3
Identificar as funções interior e exterior no nosso caso:
- Função interior:
. - Função exterior:
.
Logo
Passo 4
Derivada da função interior
.
Fato importante (uma fórmula que convém decorar): a derivada da exponencial natural é ela mesma:
Explicação curta: a função
tem a propriedade especial de que a taxa de variação em cada ponto é igual ao seu valor naquele ponto. Pode confiar nisso para a prova — é uma das derivadas básicas que sempre aparecem.
Passo 5
Derivada da função exterior
em relação a
.
Fato básico: a derivada do seno é o cosseno:
Isso significa que, ao aplicar a regra da cadeia, vamos substituir
por
dentro de
.
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia:
Substituindo
obtemos a forma final:
Observação prática: é comum escrever também
. Ambas são equivalentes (produto comutativo).
Passo 7
Exemplo rápido para fixar (opcional, apenas para ver em números): em
,
Viu como fica concreto? Isso é útil para checar se a forma faz sentido.