Calcule f^{\prime}(x) :
f(x)=\tan \left(5 x^{3}\right)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dada a função f(x)=\tan\!\big(5x^{3}\big).
  • Pede-se calcular a derivada f^{\prime}(x).
Informações importantes que já aparecem no enunciado:
  • A função é uma composição: uma tangente aplicada à função 5x^{3}.

Passo 2

Derivada da função \tan u (aula rápida).
Vamos obter a fórmula da derivada de \tan u em função de u e de u'=\dfrac{du}{dx}.
Use que \tan u=\dfrac{\sin u}{\cos u}. Aplicando a regra do quociente:
\frac{d}{dx}\tan u = \frac{\frac{d}{dx}(\sin u)\cdot\cos u - \sin u\cdot\frac{d}{dx}(\cos u)}{\cos^{2}u}.
Agora as derivadas das funções trigonométricas (cadeia): \dfrac{d}{dx}\sin u=\cos u\cdot u' e \dfrac{d}{dx}\cos u=-\sin u\cdot u'. Substituindo:
\frac{d}{dx}\tan u = \frac{\big(\cos u\cdot u'\big)\cos u - \sin u\big(-\sin u\cdot u'\big)}{\cos^{2}u} = \frac{\big(\cos^{2}u+\sin^{2}u\big)u'}{\cos^{2}u}.
Como \cos^{2}u+\sin^{2}u=1, obtemos
\frac{d}{dx}\tan u = \frac{u'}{\cos^{2}u} = u'\operatorname{sec}^{2}u.
Ou seja: a derivada de \tan u é \operatorname{sec}^{2}u multiplicada pela derivada de u.

Passo 3

Regra da cadeia (explicação).
Quando temos uma função composta h(x)=F(G(x)), a derivada é
h'(x)=F'\big(G(x)\big)\cdot G'(x).
Intuição: derivar primeiro a função exterior avaliando-a no interior, e multiplicar pela taxa de variação do interior.

Passo 4

Identificar exterior e interior no nosso caso:
  • Função exterior F(t)=\tan t. Sua derivada é F'(t)=\operatorname{sec}^{2}t (resultado do Passo 2).
  • Função interior G(x)=5x^{3}. Aplicando a regra do poder e a constante:
G'(x)=\frac{d}{dx}\big(5x^{3}\big)=5\cdot 3x^{2}=15x^{2}.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia ao produto das informações:
f'(x)=F'\big(G(x)\big)\cdot G'(x)=\operatorname{sec}^{2}\big(5x^{3}\big)\cdot 15x^{2}.
Podemos escrever de forma equivalente:
f'(x)=15x^{2}\operatorname{sec}^{2}\big(5x^{3}\big)=\frac{15x^{2}}{\cos^{2}\big(5x^{3}\big)}.

Resposta

15x^{2}\operatorname{sec}^{2}\big(5x^{3}\big)

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