Calcule f^{\prime}(x) para as funções f abaixo:

Passo 1

O enunciado pede: calcular f'(x) para as funções f abaixo.
Informações fornecidas pelo enunciado: nenhuma — as funções f(x) não foram enviadas.
Conclusão desta etapa: para calcular f'(x) preciso que as expressões de f(x) sejam dadas. Como elas não foram fornecidas, não é possível obter derivadas específicas agora. Vou, no entanto, usar os próximos passos para ensinar passo a passo todas as técnicas que normalmente são usadas numa prova para calcular f'(x). Assim, quando você tiver as funções (ou na hora da prova) saberá exatamente o que fazer.

Passo 2

O que é derivada e a definição básica (a ferramenta fundamental).
A derivada de uma função f em um ponto x mede a taxa de variação instantânea de f em relação a x. A definição limite é:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui:
  • h é um incremento pequeno em x;
  • \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} é a razão de variação média de f entre x e x+h;
  • o limite quando h\to0 dá a taxa de variação instantânea.
Observação prática: na prova, raramente usa-se a definição do limite para funções polinomiais, trigonométricas, exponenciais etc. Usa-se regras (power rule, product rule, chain rule, etc.). A definição é útil para entender o conceito e para casos em que as regras não se aplicam diretamente.

Passo 3

Regra do poder (power rule) e linearidade — as mais essenciais.
  • Regra do poder: se f(x)=x^{n} com n real (inteiro ou racional), então
f'(x)=n x^{n-1}.
Exemplo passo a passo: f(x)=x^{3}.
f'(x)=3x^{2}.
Exemplo com raiz: f(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}.
f'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\quad(\text{válido para }x>0).á
  • Linearidade (soma e constante multiplicativa): se f(x)=a\cdot g(x)+b\cdot h(x) com constantes a,b, então
f'(x)=a\,g'(x)+b\,h'(x).
Exemplo: f(x)=3x^{2}+5x\Rightarrow f'(x)=3\cdot 2x+5\cdot 1=6x+5.

Passo 4

Regra do produto (quando f é produto de duas funções).
Se f(x)=u(x)\,v(x), então
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Explanação: deriva-se a primeira mantendo a segunda, depois soma-se a primeira mantendo a derivada da segunda.
Exemplo detalhado: calcule a derivada de f(x)=x^{2}\sin x.
  1. Identificar u(x)=x^{2} e v(x)=\sin x.
  2. Calcular derivadas: u'(x)=2x, v'(x)=\cos x.
  3. Aplicar a regra:
f'(x)=2x\cdot \sin x + x^{2}\cdot \cos x.
Não simplifique mais a menos que seja útil.

Passo 5

Regra do quociente (quando f é razão de duas funções).
Se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com v(x)\neq 0, então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Explicação: é como produto com inverso e segue da regra do produto + chain rule.
Exemplo passo a passo: f(x)=\dfrac{x^{2}}{1+x}.
  1. u(x)=x^{2}\Rightarrow u'(x)=2x.
  2. v(x)=1+x\Rightarrow v'(x)=1.
  3. Aplicar:
f'(x)=\frac{2x(1+x)-x^{2}\cdot 1}{(1+x)^{2}}=\frac{2x+2x^{2}-x^{2}}{(1+x)^{2}}=\frac{2x+x^{2}}{(1+x)^{2}}.
Se quiser, fatorar: \dfrac{x(2+x)}{(1+x)^{2}}.

Passo 6

Chain rule (regra da cadeia) — imprescindível para funções compostas.
Se f(x)=F(g(x)), isto é, f é a composição de F com g, então
f'(x)=F'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
Aqui F' é a derivada de F avaliada em g(x).
Exemplo detalhado: f(x)=\sin(x^{2}).
  1. Identificar função externa F(u)=\sin u e função interna g(x)=x^{2}.
  2. Derivadas: F'(u)=\cos u, então F'(g(x))=\cos(x^{2}). E g'(x)=2x.
  3. Aplicar chain rule:
f'(x)=\cos(x^{2})\cdot 2x = 2x\cos(x^{2}).

Passo 7

Derivadas básicas de funções elementares (decorar e entender quando aplicar).
  • Exponenciais:
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x},\qquad \frac{d}{dx}a^{x}=a^{x}\ln a\\ (\text{para }a>0).
  • Logaritmo:
\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}\quad(\text{para }x>0).
  • Trigonometria:
\frac{d}{dx}\sin x=\cos x,\qquad \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x,\qquad \frac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^{2}x.
  • Hiperbólicas (se aparecerem):
\frac{d}{dx}\operatorname{sinh} x=\operatorname{cosh} x,\qquad \frac{d}{dx}\operatorname{cosh} x=\operatorname{sinh} x.
Sempre combine essas fórmulas com chain rule se o argumento não for simplesmente x.
Exemplo rápido: \dfrac{d}{dx}e^{3x} = e^{3x}\cdot 3 (chain rule: derivada do expoente 3x é 3).

Passo 8

Exemplos combinando regras (mostrar como pensar numa prova).
Exemplo 1 (produto + chain): f(x)=(\sin x)(e^{x^{2}}).
  1. u=\sin x,\\ u'=\cos x.
  2. v=e^{x^{2}},\\ v' = e^{x^{2}}\cdot 2x (chain rule).
  3. f'(x)=\cos x\cdot e^{x^{2}} + \sin x\cdot e^{x^{2}}\cdot 2x = e^{x^{2}}\bigl(\cos x + 2x\sin x\bigr).
Exemplo 2 (quociente + simplificação): f(x)=\dfrac{\ln x}{x}, x>0.
  1. u=\ln x,\\ u'=\frac{1}{x}.
  2. v=x,\\ v'=1.
  3. f'(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x - \ln x\cdot 1}{x^{2}}=\frac{1-\ln x}{x^{2}}.
Dica de prova: em cada passo identifique primeiro quais regras se aplicam; calcule as derivadas das partes simples; depois combine seguindo as fórmulas (produto, quociente, cadeia). Não tente fazer tudo de cabeça sem escrever os passos — escreva rapidamente u,v,u',v' e aplique.

Passo 9

Cuidados e estratégias finais — evitar armadilhas na prova.
  • Verifique o domínio da função (por ex. \ln x exige x>0; raízes pares exigem x adequado). A derivada só existe onde a função está definida e a fórmula é aplicável.
  • Simplifique antes de derivar quando for vantajoso (por ex. expandir um produto polinomial simples).
  • Trabalhe com notação clara: se tiver uma composição complicada, escreva u=g(x), v=h(x) para não se perder.
  • Se a função for dada por partes (piecewise), calcule derivadas em cada ramo e verifique limites laterais nas fronteiras.
  • Se a prova pedir f'(a) num ponto específico, você pode usar derivada simbólica (as regras) ou, em casos simples, a definição do limite se achar necessário.

Passo 10

Conclusão específica para este enunciado: não há como calcular f'(x) para as funções pedidas porque as expressões de f(x) não foram fornecidas no enunciado que recebi. Se quiser, cole aqui as funções (cada uma) e eu calculo passo a passo como fiz nos exemplos, explicando cada regra aplicada e as justificativas.

Resposta

Não é possível calcular f'(x) porque o enunciado não forneceu as funções f(x).

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