A resolução abaixo está incorreta. Assinale o erro e calcule (corretamente) o limite:
\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+x}-x\right) & =\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}\left(1+\frac{1}{x}\right)}-x\right) \\\ & =\lim _{x \rightarrow+\infty} x \underbrace{(\sqrt{1+\underbrace{\frac{1}{x}}_{\rightarrow 0}}-1)}_{\rightarrow 0}=\lim _{x \rightarrow+\infty}(x \cdot 0)=0 \end{aligned}

Passo 1

O que o problema pede e o que nos deram.
  • Pede-se calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\big(\sqrt{x^{2}+x}-x\big).
  • Foi apresentada uma resolução que conclui 0 usando a escrita \sqrt{x^{2}+x}=x\sqrt{1+\tfrac{1}{x}} e o argumento x(\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}-1)=x\cdot 0=0.
    O objetivo aqui é apontar o erro dessa resolução e calcular o limite corretamente.

Passo 2

Por que o argumento dado está errado (identificação do erro).
  • A manipulação inicial está correta: \sqrt{x^{2}+x}=x\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}, então a expressão fica
x\Big(\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}-1\Big).
  • O erro está em substituir \sqrt{1+\tfrac{1}{x}}-1 por 0 antes de analisar o produto com x. De fato \displaystyle \sqrt{1+\tfrac{1}{x}}-1\to 0 quando x\to+\infty, mas x\to+\infty também. Portanto a expressão é do tipo indeterminado
(+\infty)\cdot 0,
e não se pode concluir simplesmente que o produto vale 0. Concluir x\cdot 0=0 aí é inválido porque o segundo fator tende a 0 de forma que, multiplicado por x que cresce, pode produzir qualquer limite finito ou infinito. Exemplo simples para fixar a ideia: x\cdot\frac{1}{x}=1 enquanto x\cdot\frac{1}{x^{2}}=0.

Passo 3

Estratégia correta — usar o conjugado (truque clássico).
  • Para eliminar a indeterminação, multiplica-se numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{x^{2}+x}+x. Fazendo isso:
\sqrt{x^{2}+x}-x = \frac{\big(\sqrt{x^{2}+x}-x\big)\big(\sqrt{x^{2}+x}+x\big)}{\sqrt{x^{2}+x}+x}.

Passo 4

Algebra simplificada após multiplicar pelo conjugado.
  • No numerador temos a diferença de quadrados:
\big(\sqrt{x^{2}+x}-x\big)\big(\sqrt{x^{2}+x}+x\big) = (x^{2}+x)-x^{2}=x.
  • Logo a expressão original é igual a
\frac{x}{\sqrt{x^{2}+x}+x}.

Passo 5

Simplificação final dividindo por x (válido para x>0, e estamos indo para +\infty).
  • Dividindo numerador e denominador por x obtemos
\frac{x}{\sqrt{x^{2}+x}+x} = \frac{1}{\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}+1}.

Passo 6

Cálculo do limite a partir da forma simplificada.
  • Agora que está numa forma sem indeterminação evidente, fazemos x\to+\infty, então \tfrac{1}{x}\to 0. Assim
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}+1} = \frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.

Passo 7

Comentário final e alternativa intuitiva (opcional, para ganhar intuição).
  • Alternativa rápida: usar expansão para pequenas u, \sqrt{1+u}=1+\tfrac{u}{2}+o(u). Com u=\tfrac{1}{x} \sqrt{1+\tfrac{1}{x}}=1+\tfrac{1}{2x}+o(\tfrac{1}{x}), então
x\Big(\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}-1\Big)=x\Big(\tfrac{1}{2x}+o(\tfrac{1}{x})\Big)=\tfrac{1}{2}+o(1),
o que também leva a \tfrac{1}{2}. Isso confirma o resultado obtido com o conjugado.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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