Pede-se calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\big(\sqrt{x^{2}+x}-x\big).
Foi apresentada uma resolução que conclui 0 usando a escrita \sqrt{x^{2}+x}=x\sqrt{1+\tfrac{1}{x}} e o argumento x(\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}-1)=x\cdot 0=0.
O objetivo aqui é apontar o erro dessa resolução e calcular o limite corretamente.
Passo 2
Por que o argumento dado está errado (identificação do erro).
A manipulação inicial está correta: \sqrt{x^{2}+x}=x\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}, então a expressão fica
x\Big(\sqrt{1+\tfrac{1}{x}}-1\Big).
O erro está em substituir \sqrt{1+\tfrac{1}{x}}-1 por 0 antes de analisar o produto com x. De fato \displaystyle \sqrt{1+\tfrac{1}{x}}-1\to 0 quando x\to+\infty, mas x\to+\infty também. Portanto a expressão é do tipo indeterminado
(+\infty)\cdot 0,
e não se pode concluir simplesmente que o produto vale 0. Concluir x\cdot 0=0 aí é inválido porque o segundo fator tende a 0 de forma que, multiplicado por x que cresce, pode produzir qualquer limite finito ou infinito. Exemplo simples para fixar a ideia: x\cdot\frac{1}{x}=1 enquanto x\cdot\frac{1}{x^{2}}=0.
Passo 3
Estratégia correta — usar o conjugado (truque clássico).
Para eliminar a indeterminação, multiplica-se numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{x^{2}+x}+x. Fazendo isso:
Comentário final e alternativa intuitiva (opcional, para ganhar intuição).
Alternativa rápida: usar expansão para pequenas u, \sqrt{1+u}=1+\tfrac{u}{2}+o(u). Com u=\tfrac{1}{x} dá \sqrt{1+\tfrac{1}{x}}=1+\tfrac{1}{2x}+o(\tfrac{1}{x}), então