Determine \operatorname{Dom}(f) se:
§ f(x, y, z)=\sqrt[3]{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}.

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x,y,z)=\sqrt[3]{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}.
A pergunta é: determinar \operatorname{Dom}(f), isto é, o conjunto de todos os pontos (x,y,z) para os quais f(x,y,z) está bem definida como número real.

Passo 2

O que significa “estar bem definida como número real” neste contexto? Significa que a expressão dentro da raiz e a operação de radiciação devem produzir um número real. Aqui há duas partes a avaliar:
  • o radicando 1-x^{2}-y^{2}-z^{2} tem sentido para todos os x,y,z\in\mathbb{R} (é uma combinação de somas e quadrados de números reais);
  • a operação \sqrt[3]{\cdot} (raiz cúbica) aplicada a um número real retorna sempre um número real, mesmo que o radicando seja negativo.

Passo 3

Vamos explicar com calma a diferença entre raízes de índice par e ímpar, porque isso é crucial para entender o domínio.
  • Se fosse raiz quadrada \sqrt{\cdot} (índice par), então só é permitido radicando \ge 0, pois a raiz quadrada real de um número negativo não existe no conjunto dos números reais.
  • Para raiz cúbica (índice ímpar) vale outra propriedade: para todo t\in\mathbb{R} existe um único número real s tal que s^{3}=t. Ou seja, a função t\mapsto\sqrt[3]{t} está definida para todo t\in\mathbb{R}. Exemplos: \sqrt[3]{8}=2, \sqrt[3]{-8}=-2, \sqrt[3]{0}=0.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso problema: o radicando é
1-x^{2}-y^{2}-z^{2},
que para quaisquer x,y,z\in\mathbb{R} é um número real (pode ser positivo, zero ou negativo). Como a raiz cúbica aceita qualquer número real como entrada, não há restrição adicional sobre x,y,z.

Passo 5

Portanto todos os tripletos reais são permitidos. Em linguagem de conjuntos, o domínio é todo o espaço \mathbb{R}^{3}.

Resposta

\operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}^{3}

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