Determine
se:
§
.
§
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
A pergunta é: determinar
, isto é, o conjunto de todos os pontos
para os quais
está bem definida como número real.
Passo 2
O que significa “estar bem definida como número real” neste contexto? Significa que a expressão dentro da raiz e a operação de radiciação devem produzir um número real. Aqui há duas partes a avaliar:
- o radicando
tem sentido para todos os (é uma combinação de somas e quadrados de números reais); - a operação
(raiz cúbica) aplicada a um número real retorna sempre um número real, mesmo que o radicando seja negativo.
Passo 3
Vamos explicar com calma a diferença entre raízes de índice par e ímpar, porque isso é crucial para entender o domínio.
- Se fosse raiz quadrada
(índice par), então só é permitido radicando , pois a raiz quadrada real de um número negativo não existe no conjunto dos números reais. - Para raiz cúbica (índice ímpar) vale outra propriedade: para todo
existe um único número real tal que . Ou seja, a função está definida para todo . Exemplos: , , .
Passo 4
Aplicando isso ao nosso problema: o radicando é
que para quaisquer
é um número real (pode ser positivo, zero ou negativo). Como a raiz cúbica aceita qualquer número real como entrada, não há restrição adicional sobre
.
Passo 5
Portanto todos os tripletos reais são permitidos. Em linguagem de conjuntos, o domínio é todo o espaço
.