Calcule f^{\prime}(x) onde f(x) é igual a:
f(x)=\operatorname{cossec} x+e^{x} \operatorname{cotg} x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\csc x + e^{x}\cot x.
Vamos usar que a derivada de \csc x é -\csc x\,\cot x e aplicar a regra do produto para e^{x}\cot x, lembrando que a derivada de \cot x é -\csc^{2}x.

Passo 2

Derivada de \csc x: como \csc x=(\sin x)^{-1}, pelo quociente ou pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl(\csc x\bigr) =-\frac{\cos x}{\sin^{2}x} =-\csc x\,\cot x.

Passo 3

Derivada de e^{x}\cot x pela regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\cot x\bigr) =\bigl(e^{x}\bigr)'\cot x + e^{x}\bigl(\cot x\bigr)' =e^{x}\cot x + e^{x}\bigl(-\csc^{2}x\bigr) =e^{x}\cot x - e^{x}\csc^{2}x.

Passo 4

Somando as duas partes:
f'(x) =-\csc x\,\cot x +\bigl(e^{x}\cot x - e^{x}\csc^{2}x\bigr) =-\csc x\,\cot x + e^{x}\cot x - e^{x}\csc^{2}x.

Resposta

f'(x)=-\csc x\,\cot x + e^{x}\cot x - e^{x}\csc^{2}x.

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