Calcule f^{\prime}(x) sabendo que f(x) é
\frac{x+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \frac{x + \sqrt{x}}{\,x - \sqrt{x}\,}
O conteúdo principal aqui é a regra do quociente e, ao simplificar, a regra da cadeia ao lidar com \sqrt{x}.

Passo 2

Para facilitar a derivação, fatoramos \sqrt{x} em numerador e denominador:
x + \sqrt{x} = \sqrt{x}\,(\sqrt{x}+1), \quad x - \sqrt{x} = \sqrt{x}\,(\sqrt{x}-1).
Logo, para x>0 e x\neq1,
f(x) = \frac{\sqrt{x}\,(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}\,(\sqrt{x}-1)} = \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}.

Passo 3

Definimos t = \sqrt{x}. Então podemos ver f como composição
g(t) = \frac{t+1}{t-1}, \qquad f(x) = g\bigl(\sqrt{x}\bigr) = g(t).

Passo 4

Calculamos g'(t) pela regra do quociente: se g(t)=\tfrac{u(t)}{v(t)},
g'(t) = \frac{u'(t)\,v(t) - u(t)\,v'(t)}{[v(t)]^2}.
Aqui u(t)=t+1 e v(t)=t-1, logo u'(t)=1 e v'(t)=1. Assim,
g'(t) = \frac{1\cdot(t-1) - (t+1)\cdot1}{(t-1)^2} = \frac{t-1 - t -1}{(t-1)^2} = \frac{-2}{(t-1)^2}.

Passo 5

Como t=\sqrt{x}=x^{1/2}, pela regra da cadeia
\frac{dt}{dx} = \frac{d}{dx}\bigl(x^{1/2}\bigr) = \frac12\,x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia f'(x)=g'(t)\cdot \tfrac{dt}{dx}, temos
f'(x) = \frac{-2}{(t-1)^2}\,\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{-1}{\sqrt{x}\,(t-1)^2}.
Voltando a t=\sqrt{x},
f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{x}\,\bigl(\sqrt{x}-1\bigr)^2}.

Resposta

f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{x}\,\bigl(\sqrt{x}-1\bigr)^2}.

Exercícios relacionados