Calcule f(x), pela definição.
(b) f(x)=3 x-1

Passo 1

O enunciado fornece a função f dada por
f(x)=3x-1
e pede para calcular f “pela definição”. Vou entender que a pergunta correta é calcular a derivada de f pela definição (ou seja, f'(x) usando o quociente de diferença). As informações relevantes são apenas a expressão de f(x) e que devemos usar a definição limite da derivada.

Passo 2

Relembrando a definição de derivada (aqui a ferramenta que usaremos): a derivada de f em um ponto x é o limite
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
quando esse limite existir. Explicando cada parte:
  • x é o ponto em que queremos a derivada (pode ser uma variável genérica, então obteremos uma fórmula para qualquer x);
  • h é um incremento pequeno em x (pensamos em h tendendo a zero);
  • f(x+h)-f(x) é a variação da função quando avançamos h em x;
  • dividir por h dá a “taxa média de variação” em um intervalo de tamanho h;
  • tomar o limite quando h\to 0 dá a taxa instantânea de variação, i.e., a derivada.
Escolhi usar a forma com h\to0 porque é a forma padrão e direta para aplicar à expressão algébrica dada.

Passo 3

Calcule f(x+h) substituindo x+h na expressão de f:
f(x+h)=3(x+h)-1.
Desenvolvendo o produto:
f(x+h)=3x+3h-1.

Passo 4

Forme o quociente de diferença e simplifique passo a passo:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(3x+3h-1)-(3x-1)}{h}.
No numerador, os termos 3x e -1 se cancelam com (3x-1):
(3x+3h-1)-(3x-1)=3h.
Logo o quociente fica
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{3h}{h}.
Para h\neq0 podemos simplificar h obtendo
\frac{3h}{h}=3.
Agora tomamos o limite quando h\to0:
f'(x)=\lim_{h\to0}3=3.
O limite de uma constante é a própria constante, por isso o resultado é 3.

Passo 5

Interpretação e comentário prático: obtivemos f'(x)=3 para todo x. Isso faz sentido porque f é uma reta de inclinação 3 (forma f(x)=mx+b com m=3), e a derivada de uma reta é justamente a sua inclinação constante. Portanto a taxa de variação instantânea é sempre 3.

Resposta

f'(x)=3

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