Calcule
, pela definição.
(b) f(x)=3 x-1
(b) f(x)=3 x-1
Passo 1
O enunciado fornece a função
dada por
e pede para calcular
“pela definição”. Vou entender que a pergunta correta é calcular a derivada de
pela definição (ou seja,
usando o quociente de diferença). As informações relevantes são apenas a expressão de
e que devemos usar a definição limite da derivada.
Passo 2
Relembrando a definição de derivada (aqui a ferramenta que usaremos): a derivada de
em um ponto
é o limite
quando esse limite existir. Explicando cada parte:
-
é o ponto em que queremos a derivada (pode ser uma variável genérica, então obteremos uma fórmula para qualquer ); -
é um incremento pequeno em (pensamos em tendendo a zero); -
é a variação da função quando avançamos em ; - dividir por
dá a “taxa média de variação” em um intervalo de tamanho ; - tomar o limite quando
dá a taxa instantânea de variação, i.e., a derivada.
Escolhi usar a forma com
porque é a forma padrão e direta para aplicar à expressão algébrica dada.
Passo 3
Calcule
substituindo
na expressão de
:
Desenvolvendo o produto:
Passo 4
Forme o quociente de diferença e simplifique passo a passo:
No numerador, os termos
e
se cancelam com
:
Logo o quociente fica
Para
podemos simplificar
obtendo
Agora tomamos o limite quando
:
O limite de uma constante é a própria constante, por isso o resultado é
.
Passo 5
Interpretação e comentário prático: obtivemos
para todo
. Isso faz sentido porque
é uma reta de inclinação
(forma
com
), e a derivada de uma reta é justamente a sua inclinação constante. Portanto a taxa de variação instantânea é sempre
.