Calcule
, pela definição.
(a) f(x)=x^{2}+x
(a) f(x)=x^{2}+x
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede “Calcule
, pela definição.” As informações relevantes são:
- A função dada é
. - O enunciado pede um cálculo “pela definição” (mais adiante vou explicar qual definição é a usual nesse tipo de problema).
Passo 2
Interpretação do pedido e escolha do método. Quando um exercício diz “calcule … pela definição” aplicado a uma função
, o que normalmente se quer é calcular a derivada
usando a definição (limite do diferencial). Vou seguir essa interpretação: vamos calcular
pela definição de derivada. Isso porque calcular a própria
não faria sentido (já está dada); então a leitura natural é solicitar a derivada pela definição. Se você tiver dúvida, pense: “pela definição” quase sempre se refere à definição por limite da derivada.
Passo 3
Apresentando a definição de derivada e explicando termos. A definição de derivada de uma função
num ponto
é
O que isso quer dizer, de forma simples:
-
é um pequeno acréscimo em (vamos aproximá-lo de zero). -
é a variação da função quando movemos para . - Dividindo por
obtemos a razão de variação média; o limite quando dá a taxa instantânea de variação (a derivada).
Passo 4
Calcule
. Substituímos
por
na expressão de
:
Agora expandimos
:
Portanto,
Passo 5
Forme a diferença
e simplifique. Lembrando que
, então
Agora cancelamos termos iguais (
e
) e agrupamos o que sobra:
Passo 6
Divida por
e simplifique a expressão antes de fazer o limite:
Fatorando
no numerador:
Como
enquanto formos simplificar a expressão (o limite cuida do
), podemos cancelar
:
Passo 7
Tome o limite quando
. Agora aplicamos a definição:
Como
não depende de
e
, o limite é
Passo 8
Interpretação final e dica prática. O resultado
significa que a taxa de variação instantânea da função
em qualquer ponto
é
. Na prova, usar a definição exige sempre: calcular
, subtrair
, dividir por
, simplificar (fatorando
) e, por fim, tomar o limite
. Treine esse procedimento algumas vezes — com
,
,
— até ficar automático; ajuda muito.