Calcule f(x), pela definição.
(a) f(x)=x^{2}+x

Passo 1

O enunciado fornece a função f(x)=x^{2}+x e pede “Calcule f(x), pela definição.” As informações relevantes são:
  • A função dada é f(x)=x^{2}+x.
  • O enunciado pede um cálculo “pela definição” (mais adiante vou explicar qual definição é a usual nesse tipo de problema).

Passo 2

Interpretação do pedido e escolha do método. Quando um exercício diz “calcule … pela definição” aplicado a uma função f, o que normalmente se quer é calcular a derivada f'(x) usando a definição (limite do diferencial). Vou seguir essa interpretação: vamos calcular f'(x) pela definição de derivada. Isso porque calcular a própria f(x) não faria sentido (já está dada); então a leitura natural é solicitar a derivada pela definição. Se você tiver dúvida, pense: “pela definição” quase sempre se refere à definição por limite da derivada.

Passo 3

Apresentando a definição de derivada e explicando termos. A definição de derivada de uma função f num ponto x é
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
O que isso quer dizer, de forma simples:
  • h é um pequeno acréscimo em x (vamos aproximá-lo de zero).
  • f(x+h)-f(x) é a variação da função quando movemos x para x+h.
  • Dividindo por h obtemos a razão de variação média; o limite quando h\to0 dá a taxa instantânea de variação (a derivada).

Passo 4

Calcule f(x+h). Substituímos x por x+h na expressão de f:
f(x+h)=(x+h)^{2}+(x+h).
Agora expandimos (x+h)^{2}:
(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}.
Portanto,
f(x+h)=x^{2}+2xh+h^{2}+x+h.

Passo 5

Forme a diferença f(x+h)-f(x) e simplifique. Lembrando que f(x)=x^{2}+x, então
f(x+h)-f(x)=(x^{2}+2xh+h^{2}+x+h)-(x^{2}+x).
Agora cancelamos termos iguais ( x^{2} e x) e agrupamos o que sobra:
f(x+h)-f(x)=2xh+h^{2}+h.

Passo 6

Divida por h e simplifique a expressão antes de fazer o limite:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{2xh+h^{2}+h}{h}.
Fatorando h no numerador:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{h(2x+h+1)}{h}.
Como h\neq0 enquanto formos simplificar a expressão (o limite cuida do h\to0), podemos cancelar h:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=2x+h+1.

Passo 7

Tome o limite quando h\to0. Agora aplicamos a definição:
f'(x)=\lim_{h\to 0}(2x+h+1).
Como 2x+1 não depende de h e \lim_{h\to0}h=0, o limite é
f'(x)=2x+1.

Passo 8

Interpretação final e dica prática. O resultado f'(x)=2x+1 significa que a taxa de variação instantânea da função x^{2}+x em qualquer ponto x é 2x+1. Na prova, usar a definição exige sempre: calcular f(x+h), subtrair f(x), dividir por h, simplificar (fatorando h) e, por fim, tomar o limite h\to0. Treine esse procedimento algumas vezes — com x^{n}, x^{2}, x^{3} — até ficar automático; ajuda muito.

Resposta

f'(x)=2x+1

Exercícios relacionados