Calcule
, pela definição.
(c) f(x)=x^{3}
(c) f(x)=x^{3}
Passo 1
O enunciado pede para calcular, pela definição, a derivada da função fornecida.
Dados: .
Objetivo: encontrar usando a definição de derivada (isto é, um limite que envolve
e
).
Dados:
Objetivo: encontrar
Passo 2
Escrevemos a definição de derivada em um ponto
:
Aqui
representa um pequeno incremento em
. A ideia é calcular a razão de variação média
e ver o que ela tende quando
se aproxima de zero.
Passo 3
Calcule
substituindo
por
na função:
Desenvolvemos
usando a expansão do binômio (ou multiplicando passo a passo):
Passo 4
Formamos o numerador da definição:
Cancela-se
:
Passo 5
Fatoramos
no numerador para facilitar a divisão por
:
Agora dividimos por
(para
):
Observação: não há problema em dividir por
porque na definição tomamos o limite quando
e trabalhamos com
no processo intermediário.
Passo 6
Tomamos o limite quando
:
Como polinômios são funções contínuas, podemos substituir
diretamente:
Passo 7
Conclusão e interpretação: a derivada de
é
. Isso significa que a taxa de variação instantânea de
em qualquer ponto
é
. Por exemplo, em
temos
, ou seja, no ponto
a inclinação da tangente à curva é
.