Calcule f(x), pela definição.
(c) f(x)=x^{3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular, pela definição, a derivada da função fornecida.
Dados: f(x)=x^{3}.
Objetivo: encontrar f'(x) usando a definição de derivada (isto é, um limite que envolve f(x+h) e f(x)).

Passo 2

Escrevemos a definição de derivada em um ponto x:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui h representa um pequeno incremento em x. A ideia é calcular a razão de variação média \frac{f(x+h)-f(x)}{h} e ver o que ela tende quando h se aproxima de zero.

Passo 3

Calcule f(x+h) substituindo x por x+h na função:
f(x+h)=(x+h)^{3}.
Desenvolvemos (x+h)^{3} usando a expansão do binômio (ou multiplicando passo a passo):
(x+h)^{3}=x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}.

Passo 4

Formamos o numerador da definição:
f(x+h)-f(x)=(x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3})-x^{3}.
Cancela-se x^{3}:
f(x+h)-f(x)=3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}.

Passo 5

Fatoramos h no numerador para facilitar a divisão por h:
f(x+h)-f(x)=h\,(3x^{2}+3xh+h^{2}).
Agora dividimos por h (para h\neq0):
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=3x^{2}+3xh+h^{2}.
Observação: não há problema em dividir por h porque na definição tomamos o limite quando h\to0 e trabalhamos com h\neq0 no processo intermediário.

Passo 6

Tomamos o limite quando h\to0:
f'(x)=\lim_{h\to0}(3x^{2}+3xh+h^{2}).
Como polinômios são funções contínuas, podemos substituir h=0 diretamente:
f'(x)=3x^{2}+3x\cdot0+0^{2}=3x^{2}.

Passo 7

Conclusão e interpretação: a derivada de f(x)=x^{3} é f'(x)=3x^{2}. Isso significa que a taxa de variação instantânea de x^{3} em qualquer ponto x é 3x^{2}. Por exemplo, em x=2 temos f'(2)=3\cdot2^{2}=12, ou seja, no ponto x=2 a inclinação da tangente à curva é 12.

Resposta

f'(x)=3x^{2}

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