Calcule
em que
é igual a
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão da função é
. - A parte
exige para que a raiz real esteja definida. - A função
(ou seja, ) não está definida onde (pontos do tipo , ).
O enunciado pede um “calcule”; aqui vou calcular a derivada
, que é a tarefa padrão quando se pede “calcule” uma função composta por operações (se a sua intenção era outra, a resolução abaixo ainda mostra a relação entre as partes da função).
Passo 2
Estratégia de resolução (já iniciando a resolução): a função é produto de duas funções elementares, então a ferramenta que vamos usar é a regra do produto para derivadas. Vou também usar a regra do poder para
e a derivada conhecida de
. Antes de aplicar, reescrevo algumas coisas de forma conveniente.
Passo 3
Reescrever
como potência para aplicar a regra do poder:
Regra do poder: para qualquer real
,
Aplicando com
,
válido para
. Observação: em
o termo
explode, portanto a derivada não existe em
.
Passo 4
Derivar
. Lembrete:
. Pode-se usar regra do quociente ou uma derivação direta conhecida. Usando
,
Reconhecendo identidades trigonométricas,
Logo,
válido quando
.
Passo 5
Agora aplico a regra do produto. Se
então
Aqui tomo
e
. Usando as derivadas encontradas:
Substituindo na regra do produto:
Passo 6
Fazer uma simplificação algébrica útil: fatorar
e escrever em uma única fração.
Fatorando ,
Fatorando
Colocando num denominador comum
:
Portanto uma forma bem simplificada é
Passo 7
Observações finais sobre domínio e existência da derivada:
- A expressão da derivada requer
(para que seja finita) e (para que e existam). - Assim,
está definida para e , . - Em
a função está definida ( ), mas a derivada não existe por causa do termo com .