Calcule f(x) em que f(x) é igual a
\sqrt{x} \operatorname{sec} x

Passo 1

O enunciado dá a função f(x) definida por
f(x)=\sqrt{x}\,\operatorname{sec} x.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão da função é f(x)=\sqrt{x}\,\operatorname{sec} x.
  • A parte \sqrt{x} exige x\ge 0 para que a raiz real esteja definida.
  • A função \operatorname{sec} x (ou seja, 1/\cos x) não está definida onde \cos x=0 (pontos do tipo x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}).
O enunciado pede um “calcule”; aqui vou calcular a derivada f'(x), que é a tarefa padrão quando se pede “calcule” uma função composta por operações (se a sua intenção era outra, a resolução abaixo ainda mostra a relação entre as partes da função).

Passo 2

Estratégia de resolução (já iniciando a resolução): a função é produto de duas funções elementares, então a ferramenta que vamos usar é a regra do produto para derivadas. Vou também usar a regra do poder para \sqrt{x} e a derivada conhecida de \operatorname{sec} x. Antes de aplicar, reescrevo algumas coisas de forma conveniente.

Passo 3

Reescrever \sqrt{x} como potência para aplicar a regra do poder:
\sqrt{x}=x^{1/2}.
Regra do poder: para qualquer real n,
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Aplicando com n=\tfrac{1}{2},
\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{d}{dx}x^{1/2}=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}},
válido para x>0. Observação: em x=0 o termo \frac{1}{2\sqrt{x}} explode, portanto a derivada não existe em x=0.

Passo 4

Derivar \operatorname{sec} x. Lembrete: \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}. Pode-se usar regra do quociente ou uma derivação direta conhecida. Usando \dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x,
\frac{d}{dx}\operatorname{sec} x=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\cos x}\right)=\frac{0\cdot\cos x - 1\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x}=\frac{\sin x}{\cos^2 x}.
Reconhecendo identidades trigonométricas,
\frac{\sin x}{\cos^2 x}=\frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}=\operatorname{sec} x\tan x.
Logo,
\frac{d}{dx}\operatorname{sec} x=\operatorname{sec} x\tan x,
válido quando \cos x\neq0.

Passo 5

Agora aplico a regra do produto. Se f(x)=u(x)v(x) então
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Aqui tomo u(x)=\sqrt{x} e v(x)=\operatorname{sec} x. Usando as derivadas encontradas:
u'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}},\qquad v'(x)=\operatorname{sec} x\tan x.
Substituindo na regra do produto:
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot\operatorname{sec} x + \sqrt{x}\cdot(\operatorname{sec} x\tan x).

Passo 6

Fazer uma simplificação algébrica útil: fatorar \operatorname{sec} x e escrever em uma única fração.
Fatorando \operatorname{sec} x,
f'(x)=\operatorname{sec} x\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\tan x\right).
Colocando num denominador comum 2\sqrt{x}:
\frac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\tan x=\frac{1+2x\tan x}{2\sqrt{x}}.
Portanto uma forma bem simplificada é
f'(x)=\frac{\operatorname{sec} x\bigl(1+2x\tan x\bigr)}{2\sqrt{x}}.

Passo 7

Observações finais sobre domínio e existência da derivada:
  • A expressão da derivada requer x>0 (para que \frac{1}{2\sqrt{x}} seja finita) e \cos x\neq0 (para que \operatorname{sec} x e \tan x existam).
  • Assim, f'(x) está definida para x>0 e x\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}.
  • Em x=0 a função f está definida ( f(0)=0\cdot\operatorname{sec} 0=0), mas a derivada não existe por causa do termo com \frac{1}{\sqrt{x}}.

Resposta

f'(x)=\frac{\operatorname{sec} x\bigl(1+2x\tan x\bigr)}{2\sqrt{x}}

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