Calcule:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função a integrar é o produto de potências de seno e cosseno:
e . - O expoente de
é ímpar (7) e o de é par (8). - O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) geral, isto é, a integral indefinida com a constante de integração
.
Passo 2
Por que separar um fator e qual substituição usar (explicação didática):
- Estratégia padrão para integrais do tipo
é observar se algum dos expoentes é ímpar. Se um deles for ímpar, convém “separar” um fator dessa função e usar a substituição com a outra função como variável. - Aqui
tem expoente ímpar. Então vou separar um fator para formar , porque . - Uso a identidade fundamental
para reescrever as potências pares de em termos de .
Aplicando isso:
Agora substituo
, ficando
Faço a substituição
. Então
. Com isso a integral em
vira uma integral em
:
Passo 3
Desenvolver o polinômio
(aqui uma pequena aula sobre binômio):
- A fórmula do binômio de Newton para
dá . Substituindo obtemos
- Multiplicando por
temos
Portanto a integral em
é
Passo 4
Integrar termo a termo (regra de potência):
- Lembrete da regra: para
, . Aqui todos os expoentes são inteiros , então a regra se aplica diretamente. - Integro cada termo:
-
. -
. -
. -
.
-
- Somando as primitivas obtemos, em termos de
,
Passo 5
Voltar à variável original
substituindo
(explicando cada passo final):
- Lembre-se que definimos
. Então basta substituir pela na primitiva obtida. - A primitiva da integral original é
onde
é a constante de integração.