Calcule:
\int \cos ^{7} x \cdot \operatorname{sen}^{8} x d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral
\int \cos^{7}x\cdot \operatorname{sen}^{8}x\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função a integrar é o produto de potências de seno e cosseno: \cos^{7}x e \operatorname{sen}^{8}x.
  • O expoente de \cos x é ímpar (7) e o de \operatorname{sen}x é par (8).
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) geral, isto é, a integral indefinida com a constante de integração C.

Passo 2

Por que separar um fator e qual substituição usar (explicação didática):
  • Estratégia padrão para integrais do tipo \cos^{m}x\,\sin^{n}x é observar se algum dos expoentes é ímpar. Se um deles for ímpar, convém “separar” um fator dessa função e usar a substituição com a outra função como variável.
  • Aqui \cos^{7}x tem expoente ímpar. Então vou separar um fator \cos x para formar d(\operatorname{sen}x), porque \dfrac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}x\big)=\cos x.
  • Uso a identidade fundamental \cos^{2}x = 1-\operatorname{sen}^{2}x para reescrever as potências pares de \cos em termos de \operatorname{sen}x.
Aplicando isso:
\cos^{7}x\cdot \operatorname{sen}^{8}x = \cos^{6}x\cdot \cos x\cdot \operatorname{sen}^{8}x = (\cos^{2}x)^{3}\cdot \operatorname{sen}^{8}x\cdot \cos x.
Agora substituo \cos^{2}x = 1-\operatorname{sen}^{2}x, ficando
(\cos^{2}x)^{3} = (1-\operatorname{sen}^{2}x)^{3}.
Faço a substituição u=\operatorname{sen}x. Então du=\cos x\,dx. Com isso a integral em x vira uma integral em u:
\int \cos^{7}x\cdot \operatorname{sen}^{8}x\,dx = \int (1-u^{2})^{3}\,u^{8}\,du.

Passo 3

Desenvolver o polinômio (1-u^{2})^{3}u^{8} (aqui uma pequena aula sobre binômio):
  • A fórmula do binômio de Newton para (1+v)^{3} 1 + 3v + 3v^{2} + v^{3}. Substituindo v=-u^{2} obtemos
(1-u^{2})^{3} = 1 - 3u^{2} + 3u^{4} - u^{6}.
  • Multiplicando por u^{8} temos
(1-u^{2})^{3}u^{8} = u^{8} - 3u^{10} + 3u^{12} - u^{14}.
Portanto a integral em u é
\int (u^{8} - 3u^{10} + 3u^{12} - u^{14})\,du.

Passo 4

Integrar termo a termo (regra de potência):
  • Lembrete da regra: para n\neq -1, \displaystyle \int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C. Aqui todos os expoentes são inteiros \ge 8, então a regra se aplica diretamente.
  • Integro cada termo:
    • \displaystyle \int u^{8}\,du = \frac{u^{9}}{9}.
    • \displaystyle \int (-3u^{10})\,du = -3\cdot\frac{u^{11}}{11} = -\frac{3u^{11}}{11}.
    • \displaystyle \int (3u^{12})\,du = 3\cdot\frac{u^{13}}{13} = \frac{3u^{13}}{13}.
    • \displaystyle \int (-u^{14})\,du = -\frac{u^{15}}{15}.
  • Somando as primitivas obtemos, em termos de u,
\frac{u^{9}}{9} - \frac{3u^{11}}{11} + \frac{3u^{13}}{13} - \frac{u^{15}}{15} + C.

Passo 5

Voltar à variável original x substituindo u=\operatorname{sen}x (explicando cada passo final):
  • Lembre-se que definimos u=\operatorname{sen}x. Então basta substituir u pela \operatorname{sen}x na primitiva obtida.
  • A primitiva da integral original é
\frac{\operatorname{sen}^{9}x}{9} - \frac{3\operatorname{sen}^{11}x}{11} + \frac{3\operatorname{sen}^{13}x}{13} - \frac{\operatorname{sen}^{15}x}{15} + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\displaystyle \frac{\operatorname{sen}^{9}x}{9}-\frac{3\operatorname{sen}^{11}x}{11}+\frac{3\operatorname{sen}^{13}x}{13}-\frac{\operatorname{sen}^{15}x}{15}+C

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