Calcule f_{x x} para f(x, y)=(a x+b y+c)^{10}. Se x=t e y=t calcule f_{t t}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular a derivada parcial segunda de f em relação a x, isto é f_{xx}, para
f(x,y)=(a x+b y+c)^{10},
onde a, b, c são constantes; e, em seguida, calcular a derivada segunda em t quando \,x=t e \,y=t, isto é f_{tt} ao restringir a função à curva x=t,\;y=t.
Informações relevantes:
\;f(x,y)=(a x+b y+c)^{10}.
As incógnitas pedidas são \;f_{xx} (derivada parcial segunda em x) e \;f_{tt} quando \;x=t,\;y=t.

Passo 2

Conceitos que vamos usar (explicados de forma simples):
  • Derivada de potência e regra da cadeia: se u é função de alguma variável, então a derivada de u^{10} é 10\,u^9\cdot u'. Aqui u' é a derivada de u em relação à variável que estamos diferenciando. Vou aplicar isso para derivadas parciais: quando derivo em relação a x mantenho y constante.
  • Para a segunda derivada parcial f_{xx} eu derivo f_x em relação a x outra vez, usando novamente regra da cadeia.
  • Para a derivada segunda ao longo da curva x=t,\;y=t posso fazer a composição direta g(t)=f(t,t) e derivar duas vezes g''(t). Alternativamente, posso usar a fórmula da derivada de composição: g''(t)=f_{xx}+2f_{xy}+f_{yy} avaliados em x=y=t (porque dx/dt=1,\;dy/dt=1 e d^2x/dt^2=d^2y/dt^2=0). Vou mostrar a forma direta e confirmar a equivalência com a soma das parciais mistas.

Passo 3

Definimos a expressão interna
u(x,y)=a x+b y+c.
Então
f(x,y)=u(x,y)^{10}.
Primeira derivada parcial em x: apliquei regra da cadeia para potência. Como \partial u/\partial x = a, obtemos
f_x = 10\,u^9\cdot \frac{\partial u}{\partial x} = 10\,u^9\cdot a.
Substituindo u de volta,
f_x = 10\,a\,(a x+b y+c)^9.

Passo 4

Agora calculamos f_{xx} derivando f_x em relação a x (novamente y é tratado como constante). Temos f_x = 10\,a\,u^9 com u=a x+b y+c. Aplicando regra da cadeia:
f_{xx} = 10\,a \cdot 9\,u^8 \cdot \frac{\partial u}{\partial x}.
Como \partial u/\partial x = a, isso dá
f_{xx} = 10\cdot 9 \cdot a \cdot a \, u^8 = 90\,a^2 \, u^8.
Substituindo u novamente:
f_{xx} = 90\,a^2\,(a x+b y+c)^8.

Passo 5

Resumo até aqui (já temos a primeira resposta pedida):
f_{xx} = 90\,a^2\,(a x+b y+c)^8.
Vou agora calcular f_{tt} para a restrição x=t,\;y=t por composição direta.

Passo 6

Defina a função de uma variável por composição:
g(t)=f(t,t) = (a t + b t + c)^{10} = \bigl((a+b)t + c\bigr)^{10}.
Chame v(t)=(a+b)t+c. Então g(t)=v(t)^{10} e v'(t)=a+b.

Passo 7

Calcule g'(t) usando regra da cadeia para funções de uma variável:
g'(t) = 10\,v(t)^9 \cdot v'(t) = 10\,(a+b)\,\bigl((a+b)t+c\bigr)^9.

Passo 8

Calcule g''(t) derivando g'(t) mais uma vez. Novamente regra da cadeia:
g''(t) = 10\,(a+b)\cdot 9\,v(t)^8 \cdot v'(t) = 90\,(a+b)^2\,v(t)^8.
Substituindo v(t):
f_{tt} = g''(t) = 90\,(a+b)^2\bigl((a+b)t+c\bigr)^8.

Passo 9

Verificação (opcional, mas útil para aprender): calcule f_{xy} e f_{yy} e use f_{tt}=f_{xx}+2f_{xy}+f_{yy} em x=y=t. Já temos f_{xx}=90a^2 u^8. Calculamos f_{xy}:
f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(10a\,u^9\bigr) = 10a\cdot 9\,u^8\cdot \frac{\partial u}{\partial y} = 90ab\,u^8.
E
f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(10b\,u^9\bigr) = 90b^2\,u^8.
Somando:
f_{xx}+2f_{xy}+f_{yy} = 90(a^2+2ab+b^2)u^8 = 90(a+b)^2 u^8.
Ao substituir u=(a+b)t+c obtemos exatamente a mesma expressão para f_{tt} encontrada por composição, o que confirma a consistência.

Resposta

f_{xx}=90\,a^2\,(a x+b y+c)^8
f_{tt}=90\,(a+b)^2\bigl((a+b)t+c\bigr)^8

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