Calcule
para
. Se
e
calcule
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: calcular a derivada parcial segunda de
em relação a
, isto é
, para
onde
,
,
são constantes; e, em seguida, calcular a derivada segunda em
quando
e
, isto é
ao restringir a função à curva
.
Informações relevantes:
.
As incógnitas pedidas são (derivada parcial segunda em
) e
quando
.
Informações relevantes:
As incógnitas pedidas são
Passo 2
Conceitos que vamos usar (explicados de forma simples):
- Derivada de potência e regra da cadeia: se
é função de alguma variável, então a derivada de é . Aqui é a derivada de em relação à variável que estamos diferenciando. Vou aplicar isso para derivadas parciais: quando derivo em relação a mantenho constante. - Para a segunda derivada parcial
eu derivo em relação a outra vez, usando novamente regra da cadeia. - Para a derivada segunda ao longo da curva
posso fazer a composição direta e derivar duas vezes . Alternativamente, posso usar a fórmula da derivada de composição: avaliados em (porque e ). Vou mostrar a forma direta e confirmar a equivalência com a soma das parciais mistas.
Passo 3
Definimos a expressão interna
Então
Primeira derivada parcial em
: apliquei regra da cadeia para potência. Como
, obtemos
Substituindo
de volta,
Passo 4
Agora calculamos
derivando
em relação a
(novamente
é tratado como constante). Temos
com
. Aplicando regra da cadeia:
Como
, isso dá
Substituindo
novamente:
Passo 5
Resumo até aqui (já temos a primeira resposta pedida):
Vou agora calcular
para a restrição
por composição direta.
Passo 6
Defina a função de uma variável por composição:
Chame
. Então
e
.
Passo 7
Calcule
usando regra da cadeia para funções de uma variável:
Passo 8
Calcule
derivando
mais uma vez. Novamente regra da cadeia:
Substituindo
:
Passo 9
Verificação (opcional, mas útil para aprender): calcule
e
e use
em
. Já temos
. Calculamos
:
E
Somando:
Ao substituir
obtemos exatamente a mesma expressão para
encontrada por composição, o que confirma a consistência.