Nos problemas seguintes encontrar d f / d t usando regra da cadeia
f=x^{4}, x=t, y=t.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \dfrac{d f}{d t} (a derivada de f em relação a t) usando a regra da cadeia. As informações dadas são:
f = x^{4},\qquad x = t,\qquad y = t.
Ou seja, sabemos a expressão de f em termos de x e sabemos como x e y dependem de t. A tarefa é calcular a taxa de variação de f quando t varia.

Passo 2

Explicação da regra da cadeia que vamos usar: quando f depende de duas variáveis x e y, e estas por sua vez dependem de t, a derivada total de f em relação a t é dada por
\frac{d f}{d t} = \frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{d x}{d t} \;+\; \frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{d y}{d t}.
O que cada símbolo significa:
  • \dfrac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a x, isto é, quanto f muda se só x mudar (mantendo y fixo).
  • \dfrac{d x}{d t} é a derivada de x em relação a t, ou seja, como x varia com t.
  • O segundo termo é análogo para a dependência via y.
    Esse fórmula soma as contribuições de cada caminho (via x e via y) para a variação total de f quando t muda.

Passo 3

Calcule as derivadas parciais de f. Como f foi dada por f(x,y)=x^{4} (note que não há y na expressão), temos:
\frac{\partial f}{\partial x} = 4x^{3},
porque a regra de potência diz que a derivada de x^{n} em relação a x é n x^{n-1}. E, como f não depende de y,
\frac{\partial f}{\partial y} = 0.
Expliquei: qualquer variável que não aparece explicitamente numa função dá derivada parcial zero.

Passo 4

Calcule \dfrac{d x}{d t} e \dfrac{d y}{d t} a partir das relações x=t e y=t. Derivando ambos em relação a t obtemos:
\frac{d x}{d t} = 1,\qquad \frac{d y}{d t} = 1,
pois a derivada de t em relação a t é 1.

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia e substituímos os resultados:
\frac{d f}{d t} = \frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{d x}{d t} + \frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{d y}{d t} = (4x^{3})\cdot 1 + 0\cdot 1 = 4x^{3}.
Como queremos a resposta em termos de t (sabendo que x=t), substituímos x por t:
\frac{d f}{d t} = 4t^{3}.

Passo 6

Checagem alternativa (mais direta): substituindo x=t já no início, temos f(t)=t^{4}. Então
\frac{d f}{d t} = \frac{d}{d t}\bigl(t^{4}\bigr)=4t^{3},
o que coincide com o resultado via regra da cadeia. Isso sempre é uma boa maneira de verificar quando a função final é facilmente escrita em termos de t.

Resposta

\dfrac{d f}{d t}=4t^{3}

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