Nos problemas seguintes encontrar
usando regra da cadeia
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar
(a derivada de
em relação a
) usando a regra da cadeia. As informações dadas são:
Ou seja, sabemos a expressão de
em termos de
e sabemos como
e
dependem de
. A tarefa é calcular a taxa de variação de
quando
varia.
Passo 2
Explicação da regra da cadeia que vamos usar: quando
depende de duas variáveis
e
, e estas por sua vez dependem de
, a derivada total de
em relação a
é dada por
O que cada símbolo significa:
-
é a derivada parcial de em relação a , isto é, quanto muda se só mudar (mantendo fixo). -
é a derivada de em relação a , ou seja, como varia com . - O segundo termo é análogo para a dependência via
.
Esse fórmula soma as contribuições de cada caminho (viae via ) para a variação total de quando muda.
Passo 3
Calcule as derivadas parciais de
. Como
foi dada por
(note que não há
na expressão), temos:
porque a regra de potência diz que a derivada de
em relação a
é
. E, como
não depende de
,
Expliquei: qualquer variável que não aparece explicitamente numa função dá derivada parcial zero.
Passo 4
Calcule
e
a partir das relações
e
. Derivando ambos em relação a
obtemos:
pois a derivada de
em relação a
é
.
Passo 5
Agora aplicamos a regra da cadeia e substituímos os resultados:
Como queremos a resposta em termos de
(sabendo que
), substituímos
por
:
Passo 6
Checagem alternativa (mais direta): substituindo
já no início, temos
. Então
o que coincide com o resultado via regra da cadeia. Isso sempre é uma boa maneira de verificar quando a função final é facilmente escrita em termos de
.