Para f(x, y, t)=x+y+t encontrar \partial f / \partial t e d f / d t quando x=2 t e y=3 t. Explique a diferença.

Passo 1

O enunciado diz que temos a função f(x,y,t)=x+y+t e pede duas coisas:
  1. encontrar \displaystyle \frac{\partial f}{\partial t};
  2. encontrar \displaystyle \frac{d f}{d t} no caso em que x=2t e y=3t.
Informações dadas que usaremos:
\;f(x,y,t)=x+y+t.
\;x(t)=2t.
\;y(t)=3t.

Passo 2

O que significa calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial t}?
Explanação didática: a derivada parcial \displaystyle \frac{\partial f}{\partial t} mede a taxa de variação de f em relação a t mantendo as outras variáveis independentes (aqui x e y) fixas. Ou seja, ao derivar em relação a t nós tratamos x e y como constantes.
Aplicando isso à função: como x e y são tratados como constantes, a derivada em relação a t incide apenas sobre o termo t. Assim,
\frac{\partial f}{\partial t}= \frac{\partial}{\partial t}(x+y+t).
Derivando termo a termo e lembrando que a derivada de uma constante é 0 e de t é 1, obtemos
\frac{\partial f}{\partial t}=0+0+1=1.

Passo 3

Agora: o que é \displaystyle \frac{d f}{d t} quando x e y dependem de t?
Explanação didática: \displaystyle \frac{d f}{d t} é a derivada total de f em relação a t. Quando x e y são funções de t, uma variação em t afeta f de três maneiras: pelo efeito direto do termo t em f e pelos efeitos indiretos via x(t) e y(t). A regra que junta esses efeitos é a regra da cadeia para funções de várias variáveis:
\frac{d f}{d t}=\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{d x}{d t}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{d y}{d t}+\frac{\partial f}{\partial t}.
Aqui cada pedaço significa: \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} é a sensibilidade de f a x (mantendo y,t fixos), multiplicada pela taxa \displaystyle \frac{dx}{dt} com que x muda; e similar para y; por fim somamos a contribuição direta \displaystyle \frac{\partial f}{\partial t}.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar a regra da cadeia. Partindo de f(x,y,t)=x+y+t:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x+y+t)=1,
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x+y+t)=1,
e já achamos antes
\frac{\partial f}{\partial t}=1.
Agora calculamos \displaystyle \frac{dx}{dt} e \displaystyle \frac{dy}{dt} usando x(t)=2t e y(t)=3t:
\frac{dx}{dt}=2,\qquad \frac{dy}{dt}=3.

Passo 5

Aplicando a fórmula da regra da cadeia:
\frac{d f}{d t}=\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{d x}{d t}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{d y}{d t}+\frac{\partial f}{\partial t}.
Substituindo os valores que encontramos:
\frac{d f}{d t}=1\cdot 2 + 1\cdot 3 + 1.
Fazendo a soma:
\frac{d f}{d t}=2+3+1=6.

Passo 6

Interpretação e diferença entre os dois resultados (explicação didática e intuitiva):
  • \displaystyle \frac{\partial f}{\partial t}=1 é a taxa de variação de f com respeito a t quando você segura x e y fixos — só olha a dependência explícita em t dentro de f.
  • \displaystyle \frac{d f}{d t}=6 é a taxa total de variação de f quando t muda e, como consequência, x e y também mudam (aqui porque x=2t e y=3t). O total junta o efeito direto (o +1 de \partial f/\partial t) com os efeitos indiretos que vêm de x e y variando (aqui 1\cdot2 e 1\cdot3).
Pequeno exemplo numérico para intuir: se aumentarmos t em \Delta t=0,01, com x,y ligados a t temos aproximadamente
\Delta f \approx \frac{df}{dt}\,\Delta t = 6\cdot 0,01 = 0,06.
Se, em vez disso, tivéssemos segurado x e y constantes e só mudado o t dentro de f, a mesma variação \Delta t=0,01 daria
\Delta f \approx \frac{\partial f}{\partial t}\,\Delta t = 1\cdot 0,01 = 0,01,
o que mostra claramente que o efeito total é maior porque inclui as mudanças em x e y.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial t}=1
\displaystyle \frac{d f}{d t}=6

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