Para
encontrar
e
quando
e
. Explique a diferença.
Passo 1
O enunciado diz que temos a função
e pede duas coisas:
- encontrar
; - encontrar
no caso em que e .
Informações dadas que usaremos:
.
.
.
Passo 2
O que significa calcular
?
Explanação didática: a derivada parcial mede a taxa de variação de
em relação a
mantendo as outras variáveis independentes (aqui
e
) fixas. Ou seja, ao derivar em relação a
nós tratamos
e
como constantes.
Explanação didática: a derivada parcial
Aplicando isso à função: como
e
são tratados como constantes, a derivada em relação a
incide apenas sobre o termo
. Assim,
Derivando termo a termo e lembrando que a derivada de uma constante é
e de
é
, obtemos
Passo 3
Agora: o que é
quando
e
dependem de
?
Explanação didática: é a derivada total de
em relação a
. Quando
e
são funções de
, uma variação em
afeta
de três maneiras: pelo efeito direto do termo
em
e pelos efeitos indiretos via
e
. A regra que junta esses efeitos é a regra da cadeia para funções de várias variáveis:
Explanação didática:
Aqui cada pedaço significa:
é a sensibilidade de
a
(mantendo
fixos), multiplicada pela taxa
com que
muda; e similar para
; por fim somamos a contribuição direta
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar a regra da cadeia. Partindo de
:
e já achamos antes
Agora calculamos
e
usando
e
:
Passo 5
Aplicando a fórmula da regra da cadeia:
Substituindo os valores que encontramos:
Fazendo a soma:
Passo 6
Interpretação e diferença entre os dois resultados (explicação didática e intuitiva):
-
é a taxa de variação de com respeito a quando você segura e fixos — só olha a dependência explícita em dentro de . -
é a taxa total de variação de quando muda e, como consequência, e também mudam (aqui porque e ). O total junta o efeito direto (o de ) com os efeitos indiretos que vêm de e variando (aqui e ).
Pequeno exemplo numérico para intuir: se aumentarmos
em
, com
ligados a
temos aproximadamente
Se, em vez disso, tivéssemos segurado
e
constantes e só mudado o
dentro de
, a mesma variação
daria
o que mostra claramente que o efeito total é maior porque inclui as mudanças em
e
.