Calcule
f(x, y)=x^{2}
C : curva y=x, 0 \leq x \leq 2.

Passo 1

O enunciado dá:
  • A função f(x,y)=x^{2}.
  • A curva C definida por y=x no intervalo 0\le x\le 2.
O que se pede (assumindo a formulação padrão para este tipo de exercício): calcular a integral de linha da função escalar f ao longo de C com respeito ao comprimento de arco, isto é
\int_{C} f(x,y)\,ds.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicando cada parte):
  • Uma curva plana pode ser parametrizada por um vetor posição \mathbf{r}(t) = (x(t),y(t)), com t variando em um intervalo [a,b].
  • O elemento de comprimento de arco é
ds = \lVert \mathbf{r}\,'(t)\rVert\,dt,
onde \mathbf{r}\,'(t) = (x'(t),y'(t)) e \lVert \mathbf{r}\,'(t)\rVert = \sqrt{x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}.
  • A integral de linha de uma função escalar f em relação ao comprimento de arco é
\int_{C} f(x,y)\,ds = \int_{a}^{b} f(x(t),y(t))\,\lVert \mathbf{r}\,'(t)\rVert\,dt.
Aqui x(t),y(t) são as coordenadas da parametrização e t é o parâmetro.

Passo 3

Parametrização da curva C:
  • Como y=x e x varia de 0 a 2, a parametrização natural é
\mathbf{r}(t) = (t,t),\qquad 0\le t\le 2.
  • Derivada:
\mathbf{r}\,'(t) = (1,1).
  • Norma da derivada (o fator que aparece em ds):
\lVert \mathbf{r}\,'(t)\rVert = \sqrt{1^{2}+1^{2}} = \sqrt{2}.

Passo 4

Substituir na fórmula da integral:
  • Primeiro evaluar f ao longo da curva: f(x(t),y(t)) = f(t,t) = t^{2}.
  • Assim a integral vira
\int_{C} f(x,y)\,ds = \int_{0}^{2} t^{2}\,\lVert \mathbf{r}\,'(t)\rVert\,dt = \int_{0}^{2} t^{2}\,\sqrt{2}\,dt.

Passo 5

Calcular a integral definida:
  • Factor \sqrt{2} é constante, então
\int_{0}^{2} t^{2}\,\sqrt{2}\,dt = \sqrt{2}\int_{0}^{2} t^{2}\,dt.
  • Calcular \displaystyle \int_{0}^{2} t^{2}\,dt:
\int_{0}^{2} t^{2}\,dt = \left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = \frac{2^{3}}{3}-0 = \frac{8}{3}.
  • Multiplicando:
\sqrt{2}\cdot\frac{8}{3} = \frac{8\sqrt{2}}{3}.

Resposta

\dfrac{8\sqrt{2}}{3}

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