Calcule
: curva
.
Passo 1
O enunciado dá:
- A função
. - A curva
definida por no intervalo .
O que se pede (assumindo a formulação padrão para este tipo de exercício): calcular a integral de linha da função escalar
ao longo de
com respeito ao comprimento de arco, isto é
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicando cada parte):
- Uma curva plana pode ser parametrizada por um vetor posição
, com variando em um intervalo . - O elemento de comprimento de arco é
onde
e
.
- A integral de linha de uma função escalar
em relação ao comprimento de arco é
Aqui
são as coordenadas da parametrização e
é o parâmetro.
Passo 3
Parametrização da curva
:
- Como
e varia de a , a parametrização natural é
- Derivada:
- Norma da derivada (o fator que aparece em
):
Passo 4
Substituir na fórmula da integral:
- Primeiro evaluar
ao longo da curva: . - Assim a integral vira
Passo 5
Calcular a integral definida:
- Factor
é constante, então
- Calcular
:
- Multiplicando: