Calcule
f(x, y)=x
C : segmento de reta de (0,0) até (2,0).

Passo 1

O enunciado nos dá a função \,f(x,y)=x\, e a curva C, que é o segmento de reta que vai de (0,0) até (2,0).
A pergunta implícita é: calcular a integral de linha da função \,f ao longo de C. Ou seja, calcular
\int_{C} f(x,y)\,ds,
onde ds é o elemento de comprimento ao longo da curva.

Passo 2

Explicando a fórmula que vamos usar (aula rápida e prática). Para uma função escalar \,f(x,y) e uma curva C parametrizada por \,(x(t),y(t)), com t variando em um intervalo [a,b], a integral de linha em relação ao comprimento de arco é
\int_{C} f(x,y)\,ds \;=\; \int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t)\big)\,\sqrt{\big(x'(t)\big)^{2}+\big(y'(t)\big)^{2}}\,dt.
Aqui:
  • \,x(t),y(t) são as coordenadas do ponto sobre a curva para cada t;
  • \,x'(t)=\dfrac{dx}{dt} e \,y'(t)=\dfrac{dy}{dt} são as derivadas em relação a t;
  • \sqrt{\big(x'(t)\big)^{2}+\big(y'(t)\big)^{2}} é a velocidade escalar da parametrização, que multiplica dt para dar ds.

Passo 3

Parametrização do segmento C. O segmento liga (0,0) a (2,0), que está sobre o eixo x. A parametrização mais simples é:
x(t)=t,\qquad y(t)=0,\qquad t\in[0,2].
Verificação rápida: em t=0 temos (0,0); em t=2 temos (2,0). Tudo certo.

Passo 4

Calcular as derivadas e o fator \,ds. Com a parametrização escolhida:
x'(t)=1,\qquad y'(t)=0.
Portanto
\sqrt{\big(x'(t)\big)^{2}+\big(y'(t)\big)^{2}}=\sqrt{1^{2}+0^{2}}=1.
Isso significa que ds = 1\cdot dt = dt. Em palavras: ao percorrer o segmento no sentido positivo do eixo x, o elemento de comprimento coincide com dt.

Passo 5

Montar a integral substituindo f\big(x(t),y(t)\big) e ds. Como f(x,y)=x, temos
f\big(x(t),y(t)\big)=x(t)=t.
Logo a integral de linha fica
\int_{C} f\,ds \;=\; \int_{0}^{2} t\cdot 1\,dt \;=\; \int_{0}^{2} t\,dt.

Passo 6

Calcular a integral elementar. A primitiva de t é \dfrac{t^{2}}{2}. Avaliando de 0 a 2:
\int_{0}^{2} t\,dt = \left.\dfrac{t^{2}}{2}\right|_{0}^{2} = \dfrac{2^{2}}{2}-\dfrac{0^{2}}{2} = \dfrac{4}{2}=2.
Interpretação rápida e motivadora: ao somar (integrar) o valor x ao longo do segmento do eixo x de 0 a 2, obtemos exatamente a integral usual \int_{0}^{2} x\,dx, que vale 2.

Passo 7

Cheque alternativo (opcional, para ganhar confiança). Poderíamos parametrizar também como x=2s,\;y=0,\;s\in[0,1]. Então dx/ds=2, ds_{\text{arco}}=\sqrt{4+0}\,ds=2\,ds, f=2s. A integral seria \int_{0}^{1} (2s)\cdot(2)\,ds=\int_{0}^{1}4s\,ds=4\cdot\frac{1}{2}=2. Mesmo resultado — bom sinal!

Resposta

2

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