Calcule f(x, y)=x C : segmento de reta de (0,0) até (2,0).
Passo 1
O enunciado nos dá a função \,f(x,y)=x\, e a curva C, que é o segmento de reta que vai de (0,0) até (2,0).
A pergunta implícita é: calcular a integral de linha da função \,f ao longo de C. Ou seja, calcular
\int_{C} f(x,y)\,ds,
onde ds é o elemento de comprimento ao longo da curva.
Passo 2
Explicando a fórmula que vamos usar (aula rápida e prática). Para uma função escalar \,f(x,y) e uma curva C parametrizada por \,(x(t),y(t)), com t variando em um intervalo [a,b], a integral de linha em relação ao comprimento de arco é
Interpretação rápida e motivadora: ao somar (integrar) o valor x ao longo do segmento do eixo x de 0 a 2, obtemos exatamente a integral usual \int_{0}^{2} x\,dx, que vale 2.
Passo 7
Cheque alternativo (opcional, para ganhar confiança). Poderíamos parametrizar também como x=2s,\;y=0,\;s\in[0,1]. Então dx/ds=2, ds_{\text{arco}}=\sqrt{4+0}\,ds=2\,ds, f=2s. A integral seria \int_{0}^{1} (2s)\cdot(2)\,ds=\int_{0}^{1}4s\,ds=4\cdot\frac{1}{2}=2. Mesmo resultado — bom sinal!